Wir suchen also das kleinstmögliche \(x\in\mathbb{N}\), sodass \(x\geq 1000\) und sodass ein \(k\in\mathbb{Z}\) existiert mit \(200k=33x-1\).
Umstellen der Gleichung ergibt \(x=\frac{200k+1}{33}\), sieht mit einer Gleichung und zwei Unbekannten erstmal doof aus, aber wir wissen ja, dass dieser Ausdruck für \(x\) eine ganze Zahl ergeben muss, das bedeutet \(200k+1\) muss ein Vielfaches von \(33\) sein. Auflösen dieser modularen Gleichung ist sehr einfach in diesem Fall:
\(200k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33\)
\(\iff 2k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33\) (da \(2\equiv 200 \mathrm{\ mod\ } 33\))
\(\iff 2k\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33\) (da \(-1\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33\))
\(\iff k\equiv 16 \mathrm{\ mod\ } 33\)
\(\iff k = 16+33l \) für ein \(l\in\mathbb{Z}\).
Die Zahlen, die die Teilbarkeitsbedingungen erfüllen, sind also genau die Zahlen der Form \(x=\frac{200(16+33l)+1}{33}\) für ein \(l\in\mathbb{Z}\). Jetzt müssen wir nurnoch das kleinste \(l\) finden, sodass \(\frac{200(16+33l)+1}{33}\geq 1000\). Diese Ungleichung ist schnell gelöst und ergibt \(l\geq \frac{903}{200}=4.515\), und \(l=5\) ist also das kleinste \(l\), sodass \(x\geq 1000\). Einsetzen in den oberen Ausdruck ergibt \(x=1097\) und das ist unsere Lösung. Probe: \(33\cdot 1097-1=36200\) ist durch \(200\) teilbar und man kann mit einem Computerprogramm einfach prüfen, dass alle kleineren Zahlen über \(999\) die modulare Gleichung nicht erfüllen.
