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Bestimmen Sie die kleinste vierstellige Dezimalzahl x ∈ N, für die 33*x − 1 durch
200 teilbar ist.

Kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen..?

Vielen Dank im Voraus !

vor von

Hallo,

es sollte also ein k existieren, so dass

$$33x-1=200k \iff 33x-200k=1.$$

Dies lässt sich mit dem verallgemeinerten Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT bearbeiten.

Gruß MathePeter

Kann ich den Ansatz bei jeder beliebigen Zahl benutzen ? Z.b. Wenn statt -1 eine 3 wäre. Rein provisorisch.

Ja, allerdings kann es passieren, dass es keine Lösung gibt.

1 Antwort

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Wir suchen also das kleinstmögliche \(x\in\mathbb{N}\), sodass \(x\geq 1000\) und sodass ein \(k\in\mathbb{Z}\) existiert mit \(200k=33x-1\).


Umstellen der Gleichung ergibt \(x=\frac{200k+1}{33}\), sieht mit einer Gleichung und zwei Unbekannten erstmal doof aus, aber wir wissen ja, dass dieser Ausdruck für \(x\) eine ganze Zahl ergeben muss, das bedeutet \(200k+1\) muss ein Vielfaches von \(33\) sein. Auflösen dieser modularen Gleichung ist sehr einfach in diesem Fall:

\(200k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33\)

\(\iff 2k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33\) (da \(2\equiv 200 \mathrm{\ mod\ } 33\))

\(\iff 2k\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33\) (da \(-1\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33\))

\(\iff k\equiv 16 \mathrm{\ mod\ } 33\)

\(\iff k = 16+33l \) für ein \(l\in\mathbb{Z}\).


Die Zahlen, die die Teilbarkeitsbedingungen erfüllen, sind also genau die Zahlen der Form \(x=\frac{200(16+33l)+1}{33}\) für ein \(l\in\mathbb{Z}\). Jetzt müssen wir nurnoch das kleinste \(l\) finden, sodass \(\frac{200(16+33l)+1}{33}\geq 1000\). Diese Ungleichung ist schnell gelöst und ergibt \(l\geq \frac{903}{200}=4.515\), und \(l=5\) ist also das kleinste \(l\), sodass \(x\geq 1000\). Einsetzen in den oberen Ausdruck ergibt \(x=1097\) und das ist unsere Lösung. Probe: \(33\cdot 1097-1=36200\) ist durch \(200\) teilbar und man kann mit einem Computerprogramm einfach prüfen, dass alle kleineren Zahlen über \(999\) die modulare Gleichung nicht erfüllen.

vor von

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