Wie leite ich die Formel für das Volumen eines schiefen Zylinders über ein Integral her?

Question

Hallo wie leite ich die Formel für das Volumen eines schiefen Zylinders her?

Das möchte ich über ein Integral (!)bekommen.

Answer 1

In Scheiben zerlegen; Scheibendicke gegen 0 gehen lassen.

Answer 2

Volumen gerader Zylinder
Grundfläche mal Höhe

Wird der Zylinder ein Scheiben geschnitten
und schief aufeinandergesetzt bleibt die Höhe
und das Volumen erhalten. Also wieder
Volumen = Grundfläche ( Scheibe ) mal Höhe

Answer 3

Hallo,

wenn es über ein Integral gehen soll: Annahme der Zylinder hat als Grundfläche einen Kreis mit Radius R und Mittelpunkt im Nullpunkt und in der x-y-Ebene. Die Mittelachse wird durch den Vektor \(sv, s \in [0,1]\) beschrieben, so dass der Deckel ein Kreis mit Mittelpunkt \(v\) ist. Dann ist eine Parametrisierung des Zylinders:

$$(s,t,r) \mapsto sv+\begin{pmatrix} r \cos(t) \\ r \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \text{  mit } s \in [0,1], r \in [0,R], t \in [0,2 \pi]$$

Damit kannst Du das Integral für das Volumen aufstellen.

Gruß

Comments

Danke. Radius und z (bei dir s?) müssen ja gleich bleiben , aber der Winkel φ (bei dir t) müsst sich bei einem Zylinder in der Schieflage vergrößern oder? bei dir sehen die Bereiche genauso aus wie bei der normalen Zylinderformel, da habe ich r von 0 bis R z von 0 bis H (Höhe) und φ von 0 bis 2π

---

Hallo,

irgendwie reden wir aneinander vorbei. Der Winkel t kann sich nicht "vergrößern", er läuft im maximal möglichen Intervall.

Vielleicht treibst Du irgendwo eine Skizze auf, was ein schiefer Zylinder ist.

Gruß