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Ich soll beweisen, dass fn (x)= x (1-x)n im Intervall [0,1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert


Mein Ansatz:

Wenn die Nullfunktion die Grenzfunktion f(x)=0 ist, dann müsste folgendes gelten:

Sup |fn - f| = sup |fn| → 0 für n→∞

Das Supremum von fn wäre für n gegen unendlich ja 0, weil in der Klammer (1-x)n immer ein Wert kleiner als 1 ist und für n gegen unendlich dann ein Wert gegen Null geht. Außer wenn x=0 ist. Aber ist die Erklärung bzw. der Ansatz so überhaupt richtig?

von

Hallo,

der Ansatz ist richtig. Ich würde die Argumentation aber dadurch absichern, dass ich mit Hilfe der ersten Ableitung von \(f_n\) herausfinde, an welcher Stelle \(x_n\) die Funktion \(f_n\) jeweils ihr Maximum annimmt. Also \(x_n\) so bestimmen, dass

$$\sup |f_n(x)| =f_n(x_n)$$

Gruß

Vielen Dank MathePeter! Das hat mir geholfen

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

für \( f_n(x) = x (1 - x)^n \) ist \( f_n'(x) = (1-x)^n - xn(1-x)^{n-1} \).

Für \( x \neq 1 \) ergibt sich \( 1 - \hat x_n - \hat x_n n = 0 \) beziehungsweise \( \hat x_n = \frac{1}{n+1} \). Für \( x = 1 \) ist \( f_n(x) \) nicht maximal.

Es ist \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n+1} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n \) und damit \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \).

Schließlich folgt

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \sup f_n = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(\hat x_n) \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\exp(-1)}{n} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ne} \)
\( = 0 \).

Grüße

Mister

von 8,9 k

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