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Ich soll beweisen, dass fn (x)= x (1-x)n im Intervall [0,1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert


Mein Ansatz:

Wenn die Nullfunktion die Grenzfunktion f(x)=0 ist, dann müsste folgendes gelten:

Sup |fn - f| = sup |fn| → 0 für n→∞

Das Supremum von fn wäre für n gegen unendlich ja 0, weil in der Klammer (1-x)n immer ein Wert kleiner als 1 ist und für n gegen unendlich dann ein Wert gegen Null geht. Außer wenn x=0 ist. Aber ist die Erklärung bzw. der Ansatz so überhaupt richtig?

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Hallo,

der Ansatz ist richtig. Ich würde die Argumentation aber dadurch absichern, dass ich mit Hilfe der ersten Ableitung von \(f_n\) herausfinde, an welcher Stelle \(x_n\) die Funktion \(f_n\) jeweils ihr Maximum annimmt. Also \(x_n\) so bestimmen, dass

$$\sup |f_n(x)| =f_n(x_n)$$

Gruß

Vielen Dank MathePeter! Das hat mir geholfen

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

für \( f_n(x) = x (1 - x)^n \) ist \( f_n'(x) = (1-x)^n - xn(1-x)^{n-1} \).

Für \( x \neq 1 \) ergibt sich \( 1 - \hat x_n - \hat x_n n = 0 \) beziehungsweise \( \hat x_n = \frac{1}{n+1} \). Für \( x = 1 \) ist \( f_n(x) \) nicht maximal.

Es ist \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n+1} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n \) und damit \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \).

Schließlich folgt

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \sup f_n = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(\hat x_n) \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\exp(-1)}{n} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ne} \)
\( = 0 \).

Grüße

Mister

Avatar von 8,9 k

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