Grenzwert Betrag sinus x durch x für x gegen 0

Question

Aufgabe: Grenzwert lim_x->0 | \( \frac{sin(x)}{x} \) |

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathematiker,

ich weiß leider nicht, wie man den folgenden Grenzwert berechnen kann: Grenzwert limx->0 | \( \frac{sin(x)}{x} \) |

Wäre die Gleichung ohne Beträge, wäre mir die Vorgehensweise klar, nämlich mit den Regeln von l'hôspital. Dies funktioniert bei dieser Gleichung aber nicht wegen des Betrags, sodass man der Nenner beim Ableiten trotzdem immer gegen 0 geht.

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

LG Rudi

Answer 1

Aloha :)

Der Sinus ist eine ungerade Funktion, d.h. \(\sin(-x)=-\sin(x)\). Daher sind insbesondere der rechts- und der linksseitige Grenzwert für \(x\to0\) gleich groß:$$\left|\frac{\sin(-x)}{-x}\right|=\left|\frac{-\sin(x)}{-x}\right|=\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|$$Du kannst hier entweder L'Hospital verwenden$$\frac{\sin(x)}{x}\;\stackrel{(x\to0)}{\to}\;\left.\frac{\cos(x)}{1}\right|_{x=0}=\frac{1}{1}=1$$oder die Potenzreihe für den Sinus einsetzen:$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\cdots\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{4!}\mp\cdots\;\stackrel{(x\to0)}{\to}\;1$$

Comments

Herzlichen Dank! Das ist einleuchtend

Answer 2

Hallo,

warum stört dich der Betrag?

Es gilt lim x--->0 |f(x)|=| lim x---> 0 f(x)|

weil der Betrag eine stetige Funktion ist.

Berechne also

lim x → 0 sin(x)/x

Da kannst du auch l'hospital einsetzen, das ist ganz einfach.

Answer 3

L' Hospital liefert:

cos(x)/1 = 1 für x= 0