Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Folge an = 1/(n+√n) für n → ∞ konvergiert oder divergiert.
Problem/Ansatz:
… Ich habe in diesem Fall versucht, mit dem Quotientenkriterium zu argumentieren. Und zwar ist ak+1/ak = (k+√k)/(k+1+√(k+1). An dieser Stelle ist es ja offensichtlich, dass man keine Zahl p < 1 finden wird, sodass für fast alle k gilt, dass ak+1/ak ≤ p, da sich (k+√k) und (k+1+√(k+1) für lim → ∞ ja quasi immer weniger voneinander unterscheiden und der Bruch deshalb gegen 1 geht, salopp ausgedrückt. Ich frage mich jetzt, wie ich das mathematisch korrekt ausdrücken kann. Mein Ansatz ist folgender: Die Folge bk= ak+1/ak ist steigend, für alle k positiv und beschränkt. Also besitzt die Folge ein Supremum, gegen das sie konvergiert. Wenn dieses Supremum nun 1 ist, dann nähert sich die Folge beliebig an 1 an. Für jedes ε > 0 gibt es in diesem Fall ein k0, sodass für alle k >=k0 gilt: |ak+1/ak -1| < ε. Und das würde ja wiederum zeigen, dass man keine Zahl p < 1 finden kann, sodass für fast alle k gilt, dass ak+1/ak ≤ p. Nur wie genau zeige ich jetzt, dass das Supremum 1 ist? Hier käme ja wieder meine saloppe Formulierung ins Spiel, dass sich (k+√k) und (k+1+√(k+1) für lim → ∞ immer weniger voneinander unterscheiden und der Bruch deshalb gegen 1 geht. Nur kann ich das ja nicht so stehen lassen.
