Und das würde ja wiederum zeigen, dass man keine Zahl p 1 finden kann, sodass für fast alle k gilt, dass ak+1/ak ≤ …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge an = 1/(n+√n)  für n → ∞ konvergiert oder divergiert.

Problem/Ansatz:

… Ich habe in diesem Fall versucht, mit dem Quotientenkriterium zu argumentieren. Und zwar ist ak+1/ak = (k+√k)/(k+1+√(k+1). An dieser Stelle ist es ja offensichtlich, dass man keine Zahl p < 1 finden wird, sodass für fast alle k gilt, dass ak+1/ak ≤ p, da sich (k+√k) und (k+1+√(k+1) für lim → ∞ ja quasi immer weniger voneinander unterscheiden und der Bruch deshalb gegen 1 geht, salopp ausgedrückt. Ich frage mich jetzt, wie ich das mathematisch korrekt ausdrücken kann. Mein Ansatz ist folgender: Die Folge bk= ak+1/ak ist steigend, für alle k positiv und beschränkt. Also besitzt die Folge ein Supremum, gegen das sie konvergiert. Wenn dieses Supremum nun 1 ist, dann nähert sich die Folge beliebig an 1 an. Für jedes ε > 0 gibt es in diesem Fall ein k0, sodass für alle k >=k0 gilt:  |ak+1/ak -1| < ε. Und das würde ja wiederum zeigen, dass man keine Zahl p < 1 finden kann, sodass für fast alle k gilt, dass ak+1/ak ≤ p. Nur wie genau zeige ich jetzt, dass das Supremum 1 ist? Hier käme ja wieder meine saloppe Formulierung ins Spiel, dass sich (k+√k) und (k+1+√(k+1) für lim → ∞ immer weniger voneinander unterscheiden und der Bruch deshalb gegen 1 geht. Nur kann ich das ja nicht so stehen lassen.

Answer 1

$$\text{Konvergenz gegen 0 mit Sandwich: }0\xleftarrow{n\to \infty} 0\leq \frac{1}{n+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n} \xrightarrow{n\to \infty} 0$$

Comments

Hey NeverGiveUp, ich habe in meiner Frage ein Fehler eingebaut; und zwar geht es mir um die Reihe ∑ 1/(n+√n) und darum, ob diese konvergiert oder divergiert. In der Frage hatte ich danach gefragt, ob die Folge konvergiert. Vielleicht hast du darauf auch noch eine Antwort? Lieben Dank schonmal !

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$$\text{Es gilt } \infty \xleftarrow{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2n} \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\sqrt{n}}\text{, da } 0\leq\frac{1}{2n}\leq \frac{1}{n+\sqrt{n}} \text{ und des Bezuges zur harmonischen Reihe.}$$

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und wie sehe ich, dass Σ 1/2n divergiert, wenn ich weiß, dass Σ 1/n (also die harmonische Reihe) divergiert?

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$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$

Hinweis zum vorherigen Kommentar: Das "n" innerhalb der Summen als "k" betrachten (zu schnell getippt).

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Oh man, wenn ich das jetzt sehe, ist es eigentlich so simpel... Vielen vielen Dank !!