Kreuzprodukt zweier Ausdrücke bilden

Question

Diese Rechnung muss ich durchführen und stehe leider gerade ziemlich auf dem Schlauch.
Wie ich das Kreuzprodukt berechne weiß ich, allerdings nicht wie es mit diesen beiden Ausdrücken geht.
Und sind die beiden Striche rechts und links als Betragsstriche zu verstehen?

Als Hilfestellung habe ich dazu noch meine Aufzeichnungen:

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Das Bild, das im Anhang ist, ist viel zu klein, um es entschlüsseln zu können. Kannst du das vielleicht nachreichen?

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ich hoffe das hier ist leserlicher :)

Answer 1

Aloha :)

Den Ortsvektor$$\vec r(\varphi,\vartheta)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}$$kannst du partiell nach \(\varphi\) und \(\vartheta\) ableiten und das Vektorprodukt bilden:$$\partial_\varphi\vec r\times\partial_\vartheta\vec r=\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}r\cos\varphi\cos\vartheta\\r\sin\varphi\cos\vartheta\\-r\sin\vartheta\end{pmatrix}$$$$=r^2\sin\vartheta\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\cos\vartheta\\-\sin\vartheta\end{pmatrix}$$$$=r^2\sin\vartheta\begin{pmatrix}-\cos\varphi\sin\vartheta-0\\0-(-\sin\varphi)(-\sin\vartheta)\\-\sin^2\varphi\cos\vartheta-\cos^2\varphi\cos\vartheta\end{pmatrix}$$$$=-r^2\sin\vartheta\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}$$$$=-r^2\sin\vartheta\cdot\vec e_r=-r\sin\vartheta\cdot\vec r$$

Comments

Vielen Dank! :)

Answer 2

Hallo

die 2 Vektoren stehen doch schon da, du sagst Kreuzprodukt kannst du? und sin^2+cos^2=1 auch, dann steht dem nur Schreibarbeit im Weg.Also sage was dir fehlt, hinter das d_φ r gehört eigentlich noch ein dφ.

Gruß lul

Answer 3

Gegeben ist \(\vec{r}(r,\varphi , \vartheta)=r\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\sin(\vartheta)\\\sin(\varphi)\sin(\vartheta)\\\cos(\vartheta) \end{pmatrix}\), dann ist mit festem \(R\):$$\partial _{\varphi}\vec{r}(\varphi, \vartheta)\times \partial_{\vartheta}\vec{r}(\varphi, \vartheta)=R\begin{pmatrix} -\sin(\varphi)\sin(\vartheta)\\ \cos(\varphi)\sin(\vartheta)\\0 \end{pmatrix}\times R\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\cos(\vartheta)\\\sin(\varphi)\cos(\vartheta)\\-\sin(\vartheta) \end{pmatrix}=R^2\begin{pmatrix} -\cos(\varphi)\sin^2(\vartheta)\\-\sin(\varphi)\sin^2(\vartheta)\\\cos^2(\varphi)\sin(\vartheta)\cos(\vartheta)-\sin^2(\varphi)\sin ^2(\vartheta) \end{pmatrix}$$