Zerlege 24 Einheitsquadrate in Teilfiguren

Question

24 Einheitsquadrate sind so zusammengelegt, wie im Bild links dargestellt:

Die Gesamtfigur lässt sich in 2 (Mitte) und in 4 (rechts) kongruente Teilfiguren zerlegen. Zerlege die Gesamtfigur in 3 kongruente Teilfiguren.

Answer 1

Wenn nicht gesagt ist, dass die Teilfiguren aus Einheitsquadraten bestehen sollen wäre das doch recht trivial.

Comments

Aber mit Einheitsqadraten geht es nicht.

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Vielleicht klärt uns Roland noch etwas auf in welchem Zusammenhang er diese Frage stellt. Die anderen Geometrieaufgaben waren ja durchaus anspruchsvoller.

Denkst du dir die Aufgaben selber aus? Stellst du aus bekannten Aufgaben eine eigene Aufgabensammlung zusammen.

Hast du selber keine Lösung oder suchst du nur nach eventuell noch einfacheren Lösungen.

Wenn du selber keine Hilfe benötigst liegt es mir eigentlich fern mich damit zu beschäftigen. Aber diese Aufgabe war so trivial, dass ich das eigentlich als Witz empfand. Wie gesagt wäre es interessant zu wissen woher die Aufgabe stammt oder ob du die selber ausgedacht hast. Es gibt zu dieser Art Aufgaben durchaus welche die sehr knifflig sind.

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Aber mit Einheitsqadraten geht es nicht.

Interessant wäre in diesem Zusammenhang eine Zusatzaufgabe, wie man eventuell leicht nachweisen kann, dass es keine Lösung mit Einheitquadraten gibt.

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\( \begin{pmatrix} &&&&1& \\ 2&&?&?&1&? \\ 2&?&?&?&?&?\\?&?&?&?&?&4\\ ?&3&?&?&&4\\&3\end{pmatrix} \)

Entschuldigung, denn ich bin nicht gut darin Grafiken einzuführen. Doch ich denke, dass es mit einem guten Willen auch so geht. Ich habe 4 neuralgische Felder mit den dazu gehörenden Nachbarfeldern .

Die habe ich nummeriert.

Wenn es nun drei Farben mit acht Feldern werden sollen, dann müssen mindestens zwei der vier Zahlen einer Farbe entsprechen.

Die 1 und die 3 sowie die 2 und 4 können nicht gleicher Farbe sein, da der Weg zu lang wäre.

Nehmen wir also die 3 und die 4, ich könnte auch die 1 und die 3 nehmen, doch da Figur symmetrisch ist, sage ich die 4 wird zur 3 und trage den einzig möglichen Weg ein, bei dem keine Felder angeschnitten werden.

\( \begin{pmatrix} &&&&1& \\ 2&&?&?&1&? \\ 2&?&?&?&?&?\\?&?&?&3&3&3\\ 4&3&3&3&&3\\&3\end{pmatrix} \)  

Nun entsteht bei 4 ein neuralgisches Feld, denn ich kann es nicht mit der 1 verbinden und wenn ich es mit der 2 verbinden, stimmt die Form nicht mit der Form der 3 überein.

Dann bleibt also nur noch die Möglichkeit, die 4 mit der 1 zu verbinden.

Wieder muss der Weg um keine Felder zu isolieren am Rand lang gehen.

\( \begin{pmatrix} &&&&1& \\ 2&&?&?&1&1 \\ 2&?&?&?&?&1\\?&?&?&?&?&1\\ ?&3&?&?&&1\\&3\end{pmatrix} \)

Sicher sind es nur 6 Felder, doch wir können leicht erkennen, dass wenn ich mit der 2 eine entsprechende Form bilden möchte, es nur eine Möglichkeit gibt.

\( \begin{pmatrix} &&&&1& \\ 2&&?&?&1&1 \\ 2&2&?&?&?&1\\4&2&?&?&?&1\\ 4&2&?&?&&1\\&2\end{pmatrix} \)

Wir erkennen, dass wir wieder zwei Felder ( die 4)bekommen, die wir der 2 zuordnen müssen, entsprechende Felder markiere ich mit der 1.

\( \begin{pmatrix} &&&&1& \\ 2&&?&?&1&1 \\ 2&2&?&?&1&1\\2&2&?&?&1&1\\ 2&2&?&?&&1\\&2\end{pmatrix} \)  

Wir erkennen sofort, dass auch dies keine Lösung ist, was bedeutet, dass es keine Lösung gibt.

Falls es jemand leichter beweisen kann, würde ich mich sehr freuen.

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Bei meinen Beweis gab es eine kleine Ungenauigkeiten.

"Sicher sind es nur 6 Felder, doch wir können leicht erkennen, dass wenn ich mit der 2 eine entsprechende Form bilden möchte, es nur eine Möglichkeit gibt."

Diese Aussage ist leider falsch. Ich hätte die 2 auch spiegesymmetrisch zu 1 eintragen können, dann hätte ich keine Felder isoliert und ich hätte bei 1 und 2 noch jeweils zwei Felder markieren können. Doch nun kommt meine Rettung. Das aus den Feldern der 1 gebildete Element, hat eine Ausdehnung von 5 Feldern, doch weder in der Höhe, noch in der Breite kann ich diese unterbringen.

Mit dieser Feststellung, hätte auch der Beweis der anderen Möglichkeit abgekürzt werden können.

Nachbetrachtung, es war eine schöne Aufgabe und ich habe auch noch eine weitere Möglichkeit bei 4 Farben gefunden.

Die Y Form 3Felder nebeneinander

In der Mitte unter den drei Feldern ein Feld.

Über den drei Feldern am Rand je ein Feld.

Ich freue mich immer über Rolands Aufgaben. Ob nun ein Lehrer sich die Aufgabe ausdenkt, oder ob sie einem Buch entnommen werden spielt doch keine Rolle, das ist doch kein Kriterium für eine gute Aufgabe. Aus Erfahrung kann ich sagen, dass auch die Aufgaben der Lehrer häufig Büchern entnommen wurden.