Vektorfeld eines Wirbelssturm

Question

Aufgabe:

Ich soll ein dreidimensionales Vektorfeld eines Wirbelsturms definieren.

Also das Vektorfeld sollte ja wie bei den beiden oberen Bildern aussehen wobei das erste nur eindimensional ist.

allerdings verstehe ich nicht so wirklich wie ich durch die Skizze auf das Feld komme, also es ja von x,y,z abhängen sprich f(x,yz) =

Answer 1

Aloha :)

Der Sturm scheint sich um eine Drehachse \(\vec e_z\) zu drehen. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) scheint konstant zu sein, denn die Pfeile werden nach außen hin länger, d.h. die Geschwindigkeit \(v=\omega\cdot r\) ist außen höher als innen. Ich würde daher folgendes Vektorfeld vorschlagen:$$\vec F(\vec r)=\vec\omega\times\vec r\quad;\quad \vec \omega=\omega\cdot\vec e_z$$Wie die folgende Rechnung zeigt, ist die Winkelgeschwindigkeit \(2\omega\) konstant und die Rotationsachse ist die \(\vec e_z\)-Achse:$$\operatorname{rot}\vec F=\vec\nabla\times(\omega\times\vec r)=\omega\vec\nabla\times\left[\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right]=\omega\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{rot}\vec F}=\omega\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=2\omega\,\vec e_z$$

Comments

danke für deine Antwort, allerdings bin ich noch etwas verwirrt,

da das vektorfeld im R³  ist, müsste es dann nicht in der Form f(x,y,z) = (u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z))T sein?

damit ich aus diesem die Divergenz und Rotation berechnen kann?

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Doch, da hast du völlig recht. Du kannst das Vektorfeld \(\vec F(\vec r)\) natürlich auch in Vektorschreibweise notieren:$$\vec F(\vec r)=\vec\omega\times\vec r=\begin{pmatrix}0\\0\\\omega\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\omega y\\\omega x\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Mir sieht das Feld aus als lägen die Vektoren auf Spiralen, im 3d Bild in etwa den Ebenen x=y, also erst mal ne Spirale  in ner Ebene daran Dias Vertorfend tangential

Gruß lul