endliche Teilmenge aus dem Raum der stetigen Funktionen (i.d.F. fn(x)=sin(nx))?

Question

Aufgabe:

Wie kann man prüfen, ob je endlich viele Vektoren aus einer unendlichen Menge linear unabhängig sind?

Problem/Ansatz:

Mithilfe des Satzes: "∅ ≠ M ⊆ V heißt linear unabhängig, falls je endlich viele Vektoren aus M linear unabhängig sind"

soll man prüfen, ob je endlich viele Vektoren aus einer unendlichen Menge linear unabhängig sind.

Problem:

Wenn ich z.B. M = ∞  gegeben habe und V= ∞ z.B. V= fn(x) = sin(nx) mit n∈N₀ , wie kann ich dann prüfen ob je endlich viele Vektoren aus M linear unabhängig sind? Ich hätte ja dann doch eine unendliche Anzahl an "je endlich viele Vektoren" aus M. Wie kann man das dann prüfen? Mich verwirrt einfach wie man eine endliche Teilmenge aus einer unendlichen Menge rauspicken kann?

Mein Beweisansatz durch Induktion würde bis jetzt so aussehen. Ich habe aber keine Ahnung wie man so ein Beispiel zu dem Satz löst :( :

IA: Seien n1 ≠ n2 mit n1,n2∈N₀? =>  mit α1sin(n1x)+α2sin(n2x)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un. (Begründung fehlt aber intuitiv klar)



IA: es gilt lin. un. für alle Koeffizienten nk:

Seien also nun n1 ≠ ... ≠nk =>  mit α1sin(n1x)+ ... +α2sin(nkx)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un.



IS:Seien nun nk ≠ ... ≠n(k+1)? =>  mit α1sin(nkx)+ ... +α2sinn(k+1)x)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un.

q.e.d.?

Jetzt habe ich noch gehört, dass man noch irgendwie damit argumentieren soll, dass die summe der Fkt, nur endlich viele oder albzählbar viele Nullstellen hat, es aber ja für all x gelten muss. Das verwirrt mich aber wie soll ich das tun? :'(

Ich wäre dankbar für jede Hilfe!

Comments

Mehrere Verstöße gegen mathematische Schreibregeln:

M = ∞  gegeben habe und V= ∞ z.B. V= fn(x) = sin(nx) mit n∈N₀.

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wie muss es korrigiert heißen?

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|M| = ∞  gegeben habe und |V|= ∞ z.B. V= {f_n|f_n(x) = sin(nx), n∈N₀}.

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Okay vielen lieben Dank!

Answer 1

Hallo

 1. Schritt um das mit den Nullstellen zu verstehen

zeige 1, x,x^2...,x^n sind linear unabhängig, das ist einfacher. also fn(x)=x^n n aus N+0

2. bei sin(nx) nimm erstmal das Intervall von 0 bis pi oder 2pi, danach ist es ja periodisch.

Gruß lul