Integrale Rechnungen f(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist f(x). Berechne das Volumen, das bei Rotation des Graphen von f im angegebenen Intervall um die x-Achse entsteht.

A) f(x) = √25 - x² ; (-5/5)

B) f(x) = 1/3x + 2 ; (0/9)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht mehr weiter hat vielleicht jemand ne Idee, wäre sehr hilfreich

Answer 1

Volumenformel für Drehkörper

$$V=π*\int_{a}^{b}(f(x))^2 dx$$  Hier also

$$V=π*\int_{-5}^{5}(√25 - x^2)^2 dx=π*\int_{-5}^{5}(5 - x^2)^2 dx$$

$$=π*\int_{-5}^{5}(x^4 - 10x^2 + 25) dx =π*2000/3 $$

Answer 2

Zu B) π·\( \int\limits_{0}^{9} \)(1/3·x+2)² dx=π·\( \int\limits_{0}^{9} \) (x²/9+4x/3+4) dx=π·[x³/27+2x²/3+4x] in den Grenzen von 0 bis 9=117π.

Bei A) soll es vermutlich heißen; f(x)=\( \sqrt{25-x^2} \). Dann wäre π· \( \int\limits_{-5}^{5} \) (25-x²) dx zu berechnen.  

Answer 3

a)

∫ (-5 bis 5) (pi·√(25 - x²)²) dx = 500/3·pi = 523.6

Kontrolle über Kugelvolumen

V = 4/3·pi·5³ = 500/3·pi

b)

∫ (0 bis 9) (pi·(1/3·x + 2)²) dx = 117·pi = 367.6

Kontrolle über Kegelstumpf

V = 1/3·pi·(2² + 2·5 + 5²)·9 = 117·pi