0 Daumen
7,8k Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Winkel im Dreieck PQR.

a) P(3|4) Q(6|3) R(3|0)
Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich verstehe nicht ganz, wie ich vorgehen soll.

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Bilde die Vektoren PQ und PR. Mit dem Skalarprodukt kannst du den Winkel bei P ausrechnen. Für die anderen Winkel geht es entsprechend.

:-)

Avatar von 47 k

Vielen Dank schonmal. Könnten sie mir das an dem Beispiel konkret zeigen?

PQ=[3;-1]     |PQ|=√(10)

PR=[0;-4]       |PR|=4

PQ*PR=3*0+(-1)*(-4)=4

cosα=PQ*PR/(|PQ|*|PR|)

        =4/(√(10)*4)

α=arccos(1/√(10))

α≈71,57°

0 Daumen

Hallo,

Ich verstehe nicht ganz, wie ich vorgehen soll.

Nun - wenn Du gar nicht weißt, was Du tun sollst, so könntest Du zumindest das Dreieck mal zeichnen und die Winkel schlicht ausmessen. Sieht so aus:

blob.png

Ist zwar keine Lösung, aber eine gute Kontrolle, wenn Du eine vermeintliche Lösung errechnest. Beim Zeichnen kann Dir dann auffallen, dass die Seite RPRP senkrecht steht und die Seite RQRQ genau diagonal durch das Kästchenpapier verläuft. Der geübte Zeichner (man kann gar nicht genug solche Bildchen zeichnen!) weiß dann bereits, dass der Winkel beim Punkt RR =45°=45° sein muss!

Und wenn Du gar nichts vom Skalarprodukt weißt und die Lösung, die Silvia Dir hier geliefert hat, auch nicht verstanden hast (frage dann immer nach), dann hast Du trotzdem schon mal etwas von Winkeln im rechtwinkligen Dreieck gehört.

blob.png

Oben siehst Du ein rechtwinkliges Dreieck PXQ\triangle PXQ und für den blau markierten Winkel α\alpha beim Punkt PP gilt: Tangens von α\alpha ist Gegenkathete (XQ|XQ|) zu Ankathete (PX|PX|)tanα=31    α=arctan371,57°\tan \alpha = \frac{3}{1} \implies \alpha = \arctan 3 \approx 71,57°Beliebige Winkel - z.B. den beim Punkt QQ - rechnet man mit den anliegenden Vektoren aus. Der Vektor QR\vec{QR} (rot markiert s. Bild oben), der von QQ nach RR geht istQR=RQ=(30)(63)=(33)\vec{QR} = R - Q = \begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ -3\end{pmatrix} und der Vektor QP\vec{QP} (blau) istQP=PQ=(34)(63)=(31)\vec{QP} = P - Q = \begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\ 1\end{pmatrix}Du kannst das Ergebnis dieser Berechnung direkt in der Zeichnung überprüfen. Zeige mit einem Bleistift auf den Punk QQ und gehe 3 Kästchen nach links (links, weil negativ) und 1 Kästchen nach oben. Dann muss der Bleistift bei PP stehen. Der Vektor QP\vec{QP} ist also QP=(31)\vec{QP} = (-3\,| 1).

Der Winkel γ\gamma zwischen diesen beiden Vektoren berechnet sich aus dem Skalarprodukt. Es giltQRQP=QRQPcosγ\vec{QR} \cdot \vec{QP} = |\vec{QR} | \cdot |\vec{QP} | \cdot \cos \gammaDaraus folgt:cosγ=QRQPQRQP=(33)(31)(3)2+(3)2(3)2+12=(3)(3)+(3)11810=665=15    γ=arccos(15)63,43°\begin{aligned} \cos \gamma &= \frac{\vec{QR} \cdot \vec{QP}}{ |\vec{QR} | \cdot |\vec{QP} |} \\ &= \frac{\begin{pmatrix}-3\\ -3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 1\end{pmatrix}}{\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + 1^2}} \\ &= \frac{(-3)\cdot(-3) + (-3)\cdot 1}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{10} } \\ &= \frac{6}{6 \sqrt{5}} \\ &= \frac 1{\sqrt 5} \\ \implies \gamma &= \arccos\left(\frac 1{\sqrt 5} \right) \approx 63,43°\end{aligned}... und alle anderen Winkel kann man natürlich auch so berechnen.

Bleibt noch zu erwähnen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180°180° ist und wenn man zwei Winkel kennt ist der dritte dann die Differenz der Summe der beiden zu 180°180°.

Avatar von 49 k
0 Daumen

A(30),B(63),C(34)A(3|0),B(6|3),C(3|4)

Steigung m1m_1 der Geraden durch AA und BB:

m1=3063=1m_1= \frac{3-0}{6-3} =1

Steigung m2m_2 der Geraden durch BB und CC:

m2=3463=13m_2= \frac{3-4}{6-3} =-\frac{1}{3}

Steigung m3m_3 der Geraden durch AA und CC:

Die Gerade steht senkrecht auf der x-Achse, Somit ist der Winkel 90°90°

Da nun m1=1m_1 =1 ist, sind dies dann 45°45°

Somit ist α=45°α=45°

Berechnungsweg von ββ:

m=m2m11+m2m1m=|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}|

tan(β)=131113=4323=2\tan (β)=|\frac{-\frac{1}{3}-1}{1-\frac{1}{3}}| =|\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}|=2

tan1(2)=63,43°\tan^{-1}(2)=63,43°

Winkelsumme im Dreieck ist 180°180°

γ=180°(α+β)=180°(45°+63,43°)=71,57°γ=180°-(α+β)=180°-(45°+63,43°)=71,57°

Avatar von 42 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage