Formel von Wandstärke (einer Hohlkugel) überprüfen.

Question

Ich habe Probleme bei einer Aufgabe über Berechnung einer Holhkugel und weiß nicht wirklich, wie ich zu einer Lösung kommen muss.

Aufgabe:

Das Volumen des Materials einer Hohlkugel mit dem äußeren Radius r und der Wandstärke a beträgt 10 % des Volumens einer Vollkugel mit dem Radius r.

Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen, dass die Wandstärke a mit der Formel a = (1- $\sqrt[3]{0,9}$)·r berechnet werden kann.

Ich weiß, dass die Formel des Volumens von einer Hohlkugel $\frac{4}{3}$π$r1^{3}$-$\frac{4}{3}$π$r2^{3}$ ist. so könnte auch a bzw. die Wandstärke berechnet werden. trotzdem weiß ich nicht was die eine Sache mit der anderen zu tun hat und was ich später rechnen muss. Könnte mir bitte jemand helfen? Danke schön!

Answer 1

R =Radius der äußeren Kugel

r = Radius der inneren Kugel

a = Dicke der Schale.  a= R - r

V(R) Volumen der äußeren Kugel

V(r) Volumen der inneren Kugel

V(a) Volumen der Schale

V(a) = V(R) - V(r) ;.  V(r) = V(R) - V(a)

V(R) = 1,00 * V(R)

V(a) = 0,10 * V(R)

V(r) = 0,90 *  V(R)

$\frac{4}{3}$ * π*R³= V (R)

$\frac{4}{3}$ * π*r³= V(r)

$\frac{V(r)}{V(R)}$ = 0,90 = $\frac{ \frac{4}{3} π*r³} { \frac{4}{3} π*R³}$ =$\frac{ r³} { R³}$ 

0,90* R³ = r³

$\sqrt[3]{0,90}$ *R = r.     1 *R = R

a = R - r

a = 1 * R - $\sqrt[3]{0,90}$ *R

a= (1 -$\sqrt[3]{0,90}$)*R

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!!! Das hat wirklich geholfen!!!!

Answer 2

Hallo

du hast ja die 10% nicht verwendet?

du weisst 0,1*r³=r³-(r-a)³ nachdem ich durch 4pi/3 gekürzt habe.

daraus nach kleinen Umformungen deine Formel

Vorsicht: (r-a)³ nicht ausmultiplizieren

Gruß lul

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Danke schön :)

Answer 3

4/3·pi·r³ - 4/3·pi·(r - a)³ = 0.1·4/3·pi·r³

r³ - (r - a)³ = 0.1·r³

(r - a)³ = r³ - 0.1·r³

(r - a)³ = 0.9·r³

r - a = ³√0.9·r

r - ³√0.9·r = a

a = r - ³√0.9·r

a = (1 - ³√0.9)·r

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Danke schön :-)