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Aufgabe:

Betragsgleichung mit zwei Variablen lösen


Problem/Ansatz:

Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge ℝ der reellen Zahlen in Abhängigkeit von a, wobei a eine reelle Zahl ist.

a·|x-1|+(a-1)·|x+2|=2

Ich bin etwas verwirrt darüber, was „in Abhängigkeit von a“ bedeutet. Muss ich jetzt beide Variablen bestimmen ?

Ich habe zunächst mithilfe von Fallunterscheidung und Zusammenfassen versucht den Term zu vereinfachen, das hat mir jedoch nicht wirklich weitergeholfen...

Jegliche Anreize, wie ich die Aufgabe angehen sollte wären super!

schon mal :)

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Ich bin etwas verwirrt darüber, was „in Abhängigkeit von a“ bedeutet. Muss ich jetzt beide Variablen bestimmen?

Nein, das aa ist ein Platzhalter für jede reelle Zahl. Das Ziel ist es, nun die Lösungsmenge anzugeben für jedes dieser Platzhalter. Damit du am Ende eine Lösungsmenge "in Abhängigkeit von aa" hast (d. h., in der aa "drin vorkommt" oder auch nicht, man sagt in diesem Fall, dass die Gleichung unabhängig von aa ist), um sofort für alle aa die Lösungsmenge anzugeben, ohne jedes Mal neu durchzurechnen.

Danke für die Erklärung, das hilft schon mal weiter.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Im Prinzip kannst Du die Aufgabe so lösen, als ob aa irgendeine Zahl wäre. 'In Abhängigkeit zu aa' heißt ja nur, dass das aa in der Lösung vorkommt (siehe Kommentar von racine_carrée). Die 'kritischen' Stellen sind hier x=1x=1 und x=2x=-2. Dort findet ein Vorzeichenwechsel innerhalb der Betragsstriche statt. Damit hast Du drei Fälle zu untersuchen:

1.) x1x \ge 1

2.) 2x<1-2 \le x \lt 1

3.) x<2x \lt -2

Mit Fall 1 ergibt sich:a(x1)+(a1)(x+2)=2x1x(2a1)=4ax=4a2a1\begin{aligned} a(x-1) + (a-1)(x+2) &= 2 & x \ge 1\\ x(2a-1) &= 4-a \\ x &= \frac{4-a}{2a-1} \\ \end{aligned} Jetzt muss aber nach wie vor x1x \ge 1 gelten und somit auch 4a2a11 \frac{4-a}{2a-1} \ge 1und damit ist der Bereich von aa ebenfalls eingeschränkt. Für den Fall 1 muss dann gelten12<a53 -\frac 12 \lt a \le \frac 53Versuche es mal mit den anderen beiden Fällen selber. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Avatar von 49 k

Ich entschuldige mich für die verspätete Antwort. Habe mich nach Deinem Kommentar mal etwas mit Betragsfunktionen beschäftigt und konnte die Aufgabe lösen, vielen Dank!!

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