Volumina von Rotationskörpern mit Hilfe von bestimmtem Integral.

Question

Aufgaben:

9. Eine Kugel mit dem Radius R = 4 wird durch eine ringartige Schale eingefasst, deren Volumen gesucht ist.

10. f(x) = x² + 1 rotiert über [-1; 1] um die x-Achse. Ist die Maßzahl des Rotationsvolumens größer als 5?

Die Breite des Ringes beträgt insgesamt 2.

Answer 1

Vergleich mal mit euren Lösungen. Bei Unklarheiten bitte Rücksprache halten.

Rotationsintegrale

9.

V1 = pi·5²·2 = 50·pi

V2 = pi · ∫ (-1 bis 1) √(4² - x²)² dx

V2 = pi · ∫ (-1 bis 1) (16 - x²) dx

V2 = pi · [16·x - 1/3·x³](-1 bis 1)

V2 = 94/3·pi

V = 50·pi - 94/3·pi = 56/3·pi = 58.64 VE

10.

V = pi · ∫ (-1 bis 1) (x² + 1)² dx

V = pi · ∫ (-1 bis 1) (x⁴ + 2·x² + 1) dx

V = pi · [1/5·x⁵ + 2/3·x³ + x](-1 bis 1)

V = 56/15·pi = 11.73 VE

Comments

Kannst du mir bitte erklären, wie du auf die Funktion √(4² - x²)² gekommen bist. Kann es mir irgendwie nicht erklären :/

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Gehe von einer Kugelgleichung aus x² + y² = R² und löse diese nach y (Radius der Rotation an der Stelle x) auf. Dann sollte das denke ich klar sein.

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Woher hast du die Kugelgleichung hergeleitet? Gibt es eine Art Merkliste für sowas?

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Ops ich meinte Kreisgleichung. Für die Kugelgleichung fehlte das + z²

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die vom Kreismittelpunkt alle den gleichen Abstand (den Radius) haben.

Im einfachsten Fall ist der Mittelpunkt der Ursprung. Und dann gilt nach dem Satz des Pythagoras die obige Kreisgleichung.

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Ist das aber sicher keine Kugel, da es so in der Aufgabe steht und es ja ein dreidimensionaler Körper im x-y-System ist?

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Die Skizze ist schon eine Kugel. Die entsteht als Rotationskörper einer zweidimensionalen Funktion.

Im reinen x-y-System gibt es keine dreidimensionalen Körper.

Answer 2

hi

9.

abschätzung des schwerpunktes des rotationskörpers
r ≈ 4.45
abschätzung der fläche des rotationskörpers
A ≈ 2*1 + 1*0.125
A ≈ 2.125

berechung des volumens über die zweite guldinsche regel
V ≈ 2*π*A*r
V ≈ 2*π*2.125*4.45
V ≈ 59.415


falls das ganze etwas genauer interessiert:

Δh = r - 1/2 √(4r²-b²)
Δh = 4 - 1/2 √(60)
Δh = 0.127

α = 2 * arcsin (b/(2r))
α = 2 * arcsin (2/(2*4))
α = 28.955°
α = 0.50536 rad

As: kreissegmentfläche
As = r²/2(α - sin α)
As = 4²/2(0.50536 - sin 0.50536)
As = 0.1699

xs: flächenschwerpunkt des kreissegments
xs = b³/(12*As)
xs = 2³/(12*0.1699)
xs = 3.9239
y: abstand von oberkante ring bis xs
y = 5 - xs
y = 1.0761

Ar: rechteckfläche
Ar = 2*(1+Δh) = 2*1.127 = 2.254

A: fläche des rings
A = Ar - As = 2.0841 (geschätzt hatten wir A = 2.125)

berechnung des schwerpunktes des rechtescks
mit dem ausgehöhlten kreissegment gemessen ab oberkante des ringes

0.5635: halbe rechteckhöhe
A*y = Ar * 0.5635 - As * 1.0761
2.0841 * y = 2.254 * 0.5635 - 0.1699 * 1.0761
y = (2.254 * 0.5635 - 0.1699 * 1.0761)/2.0841
y = 0.5217
y ist der abstand von oberkante rechteck bis zum
schwerpunkt des rechtecks.

vom kreismittelpunkt ist das
r = 5 - 0.5217
r = 4.4783 ( geschätzt hatten wir r = 4.45)

berechung des volumens über die zweite guldinsche regel,
diesmal etwas genauer:

V = 2*π*A*r
V = 2*π*2.0841*4.4783
V = 58.642 mit den abgeschätzten werten hatten wir V ≈ 59.415

10.

das rotationsvolumen berechnet man über das integral
V = π∫(x²+1)² dx
in den grenzen von -1 bis 1
bzw. vereinfacht unter ausnutzung der symmetrie
2π∫(x²+1)dx in den grenzen von 0 bis 1

2π∫(x²+1)dx =
2π∫x⁴+2x²+1 dx =
2π(x⁵/5 + 2/3 x³ + x + C)

V = [x⁵/5 + 2/3 x³ + x](von x=0 bis x=1)
V = 2π(1/5 + 2/3 + 1)
V = 11.729 gerundet

gruß

Answer 3

Aufgabe 10

f(x) = x² + 1

berechne das halbe Volumen

x von 0 bis 1

V/2 = 2π * $\int\limits_{0}^{1}$ $(x²+1)^{2}$ dx