Beweis von Vielfachen von Rotationskörpern

Question

Sei $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare Funktion mit $f(x) \geq 0$ für alle $x \in[0,1]$. Wir rotieren die Menge zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse, um die $x$-Achse, die so entstandene Teilmenge des $\mathbb{R}^{3}$ bezeichnen wir mit $A$. Die Menge in $\mathbb{R}^{2}$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse bezeichnen wir mit $B$.

(a) Wir vergrößern die Menge $B$ zentral um $(0,0)$ mit Faktor $r>0$, d.h., wir betrachten die Menge $r B:=\{(r x, r y)$ : $(x, y) \in B\}$. Beweisen Sie:
Flächeninhalt von $r B=r^{2} \cdot$ Flächeninhalt von $B, \quad$ Umfang von $r B=r \cdot$ Umfang von $B$.
(Achtung: Der Umfang hier ist die Summe der Längen aller einschließenden Kurven.)
(b) Wir vergrößern die Menge $A$ zentral um $(0,0,0)$ mit Faktor $r>0$, d.h., wir betrachten die Menge $r A$ := $\{(r x, r y, r z):(x, y, z) \in A\}$. Beweisen Sie:
Oberfläche von $r A=r^{2}$. Oberfläche von $A, \quad$ Volumen von $r A=r^{3} \cdot$ Volumen von $A$.
(Achtung: Die Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte aller einschließenden Flächen.)
Hinweis: Finden Sie zunächst eine geeignete Funktion $g$ welche zu den Mengen $r$ A und $r B$, analog wie $f$ zu A und zu B, gehört.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau welche Hilfsfunktion ich nutzen kann um dies zu beweisen. Müsste ich dann aber einfach mit der Definition und Formeln für Roationskörper arbeiten?

Answer 1

Hallo

Ich denke man kann das einfach mit der Fläche und Umfang eines Rechtecks, etwa f(x)=a machen, denn die Fläche ist ja der GW der Summe von Rechtecken.

entsprechend für das Volumen

Gruß lul

Comments

$$rB= r\int \limits_{0}^{r} adx= r[ax]=a r^{2}$$

Wäre das dann die Lösung zum Flächeninhalt bei a)? Aber dann hab ich noch das a am Ende, wie würde ich das wegkriegen?

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Hallo

was ist denn B des Rechtecks?

lul

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B ist doch der Flächeninhalt also Länge mal die Breite Bzw das integral was der Graph mit der x-Achse einschließt. Oder versteh ich da was falsch?

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Hallo

was willst du gerade zeigen, hast du  das Rechteck vergrößert, mit dem Faktor r welche Fläche  hat es dann, welchen Umfang. Wozu das Integral?

lul