Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)

Question

Aufgabe:

1) Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E:x=(2/-1/4)+r*(1/0/-2)+s*(2/1/1) den Abstand 3 haben.

2) Gegeben sind die Ebene E: 2x1+x2+2x3+20=0 und die Gerade g:x=(11/-7/5)+k*(3/-1/5). Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte auf g, deren Abstand von der Ebene 5 beträgt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich wahrscheinlich die Hessesche Normalenform nutzen muss. Ich weiß aber nicht genau, wie ich welche Werte einsetzen muss.

Answer 1

Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E:x=(2/-1/4)+r*(1/0/-2)+s*(2/1/1) den Abstand 3 haben.

Die Liegen auf zwei Ebenen, die von deiner Ebene den Abstand 3 Haben

n = [1, 0, -2] ⨯ [2, 1, 1] = [2, -5, 1]

F_1,2: (2·x - 5·y + z - 13) / √30 = ± 3

Comments

Aber wie löse ich die Gleichung dann weiter auf um die beiden Ebenen zu erhalten? Oder ist die Aufgabe so schon vollständig gelöst?

Und hast du zu Nr. 2 auch einen Tipp?

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Das ist dann schon fertig. Ich bevorzuge allerdings die Koordinatenform. Aber du weißt ja das das nur eine ausmultiplizierte Normalenform ist.

2) Gegeben sind die Ebene E: 2x1+x2+2x3+20=0 und die Gerade g:x=(11/-7/5)+k*(3/-1/5). Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte auf g, deren Abstand von der Ebene 5 beträgt.

[11, -7, 5] + r·[3, -1, 5] = [3·r + 11, -r - 7, 5·r + 5]

(2·(3·r + 11) + (-r - 7) + 2·(5·r + 5) + 20) / 3 = ± 5 --> r = -4 ∨ r = -2

P1 = [11, -7, 5] - 4·[3, -1, 5] = [-1, -3, -15]

P2 = [11, -7, 5] - 2·[3, -1, 5] = [5, -5, -5]

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Das ist dann schon fertig. Ich bevorzuge allerdings die Koordinatenform. Aber du weißt ja das das nur eine ausmultiplizierte Normalenform ist.

Was meinst du damit genau? F1,2: (2·x - 5·y + z - 13) / √30 = ± 3 ist für mich weder Koordinatenform noch Normalenform. Und mir ist jetzt auch nicht klar wie dies zu einer Ebenengleichung bekomme.

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F1,2: (2·x - 5·y + z - 13) / √30 = ± 3

Ich habe das mal ausgerechnet und habe jetzt die Koordinatenformen.

2x-5y+z=-3,43 v 2x-5y+z=19.43

Ist das korrekt?

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F1,2: (2·x - 5·y + z - 13) / √30 = ± 3

Ich stelle das mal typisch wie in der Koordinatenform dar

F1: 2·x - 5·y + z = 13 + 3·√30
F2: 2·x - 5·y + z = 13 - 3·√30

Achtung. beim Ausrechnen bzw. Aufschreiben scheint dir da noch ein Fehler unterlaufen zu sein. Aber man lässt das im Zweifel auch so stehen.