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Ein pythagoreisches Dreieck mit a=40, b=42, c=58 hat den gleichen Flächeninhalt, wie ein pythagoreisches Dreieck mit a=24, b=70, c=74. Gibt es weitere Paare pythagoreischer Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt, die nicht Vielfache der genannten Dreiecke sind?

von 87 k 🚀

Vielfache davon 0:)

1 Antwort

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Hallo Roland,

Ein pythagoreisches Dreieck mit a=40, b=42, c=58 hat den gleichen Flächeninhalt, wie ein pythagoreisches Dreieck mit a=24, b=70, c=74.

Diese beiden sind keine primitiven Tripel. Folglich sind auch die Dreiecke (20,21,29) und (35 12 37) und alle Vielfache davon gleich groß.

Beschränkt man die Suche ausschließlich auf primitive Tripel, so findet man auch viele. Hier eine Auswahl:

(21 20 29) <-> (35 12 37)
(91 60 109) <-> (195 28 197)
(95 168 193) <-> (399 40 401)
(385 552 673) <-> (759 280 809)
(341 420 541) <-> (1085 132 1093)
(259 660 709) <-> (1221 140 1229)
(559 840 1009) <-> (1505 312 1537)
(627 364 725) <-> (77 2964 2965)
(1911 440 1961) <-> (2695 312 2713)
(231 2960 2969) <-> (111 6160 6161)
(1155 2852 3077) <-> (3795 868 3893)
(549 1820 1901) <-> (3965 252 3973)
(1241 2520 2809) <-> (4599 680 4649)

ich vermute, dass es keine Obergrenze gibt. Interessant wäre noch zu klären ob es gleich große Dreiecke gibt, von denen nur eines von beiden aus einem primitiven Tripel besteht. Auch dazu eine kleine Auswahl:

(22 120 122) <-> (55 48 73)
(42 40 58) <-> (15 112 113)
(70 24 74) <-> (15 112 113)
(182 120 218) <-> (105 208 233)
(39 252 255) <-> (27 364 365)
(210 176 274) <-> (231 160 281)
(85 720 725) <-> (225 272 353)
(153 420 447) <-> (189 340 389)
(385 180 425) <-> (275 252 373)

... da scheint es noch viel mehr von zu geben.

von 29 k

Danke Werner,

Du schreibst:

Diese beiden sind keine primitiven Tripel. Folglich sind auch die Dreiecke (20,21,29) und (35 12 37) und alle Vielfache davon gleich groß.

Diese Folgerung kann ich nicht nachvollziehen. Könntest Du etwas dazu ergänzen?

@Roland

Deine beiden Tripel haben den ggT 2.

:-)

Der größte gemeinsame Teiler aller Zahlen in den von Dir genannten Tripeln ist 2. Man kann also schreiben$$\begin{aligned} 40 \cdot 42 &= 24 \cdot 70 \\ (2 \cdot 20) \cdot (2 \cdot 21) &= (2 \cdot 12) \cdot (2 \cdot 35) && | \, \div 2^2 \\ 20 \cdot 21 &= 12 \cdot 35\end{aligned}$$Die Dreiecke der Tripel (20 21 29) und (12 35 37) haben also auch den gleichen Flächeninhalt, nämlich 1/4 davon. Diese Tripel sind aber primitiv - haben also paarweise keinen gemeinsamen Teiler.

Nun kannst Du jedes Vielfache davon bilden und diese Vielfachen bilden auch wieder Dreiecke mit identischen Flächeninhalt. So wie unknown schon geschrieben hatte.

@Werner

Wie hast du die Tripel-Paare gefunden? Hast du selbst programmiert?

@ Werner

Ein Viertelfaches ist - in meinem Sinne - auch ein Vielfaches.

@ MontyPython

In diesem Forum findest du einen Aufsatz von mir dazu.

Wie hast du die Tripel-Paare gefunden? Hast du selbst programmiert?

Ja - ich hatte bereist ein Programm, das mir die primitiven Tripel erzeugt. Der Rest war dann kein Problem mehr.

Ein anderes Problem?

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