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Aufgabe:

Wie bestimme ich das Erzeugendensystem des ℝ^3 zu den Vektoren:

v=(1;3)

z=(0;-6)


Wie kann ich das ohne Matrix-Verfahren bestimmen ?

vor von

Eine Menge von Vektoren {\( \vec{a} \) ,\( \vec{b} \) ,\( \vec{c} \) } heißt Erzeugendensystem im ℝ3, wenn zu jedem Vektor \( \vec{x} \) des ℝ3 Zahlen a, b, c gibt, sodass \( \vec{x} \) =a\( \vec{a} \) +b\( \vec{b} \) +c\( \vec{c} \).

\(\mathbb{R}^2 \not\subseteq \mathbb{R^3}\) ?

1 Antwort

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Aloha :)

Erzeugendensystems sind nicht eindeutig. Daher gibt es nicht "das" Erzeugendensystem finden, sondern nur "ein" Erzeugendensystem. Zur Bestimmung schauen wir zunächst, ob wir die Basisvektoren des \(\mathbb R^3\) durch die gegebenen Vektoren \(\vec v\) und \(\vec z\) darstellen können. Anschließend ermitteln wir, ob eventuell ein Vektor zu \(\vec v\) und \(\vec z\) ergänzt werden muss. Das Problem hierbei ist, dass die Vektoren \(\vec v\) und \(\vec z\) nur 2-dimensional angegeben sind. Daher gehe ich mal davon aus, dass ihre dritte Komponente \(0\) ist.

$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}=\vec v+\frac{1}{2}\vec z\quad\checkmark$$$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=-\frac{1}{6}\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}=-\frac{1}{6}\vec z\quad\checkmark$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\stackrel{?}{=}a\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}\quad\text{Problem!}$$Den letzten Basisvektor des \(\mathbb R^3\) können wir nicht aus den Vektoren \(\vec v\) und \(\vec z\) zusammenbauen, weil es keine Werte für \(a\) und \(b\) gibt, die die dritte Koordinatengleichung erfüllen:$$1\stackrel{?}{=}a\cdot0+b\cdot0=0\quad\text{Widerspruch}$$Wir können das heilen, indem wir zu \(\vec v\) und \(\vec z\) den Vektor \(\vec w=(0;0;1)\) ergänzen.

vor von 41 k

Könnte ich mal fragen, wie Sie so schnell auf erdachte Zahlen kommen; z.B. in ihrer Rechnung 1. Schritt die 1/2 ? Denken Sie einfach nach oder wie genau?

Der erste Vektor liefert in der y-Komponente ja den Beitrag 3. Der zweite Vektor liefert in der y-Komponente (-6). Um die 0 zu erhalten reicht es, die Hälfte von der (-6) zu der 3 zu addieren. Da die x-Komponente des zweiten Vektors 0 ist, bleibt dadurch die x-Komponente ungeändert.

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