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Aufgabe: Berechne die Extrempunkte der Funktionsschar

Gegebene Funktion: fk = 1/6(x^3-2kx^2+k^2•x)

Mit k R^ {+} 0


Problem/Ansatz:

Ich habe nur zwei Tiefpunkte raus einmal bei        (k / 0) und bei (1/3k / 0) ich weiß aber nicht ob das richtig ist :(

von

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Aloha :)

Nur 2 Tiefpunkte ist schlecht, denn dazwischen müsste ja dann ein Hochpunkt liegen. Vermutlich ist einer der Tiefpunkte ein Hochpunkt. Wir rechnen mal zusammen nach:

$$f'_k(x)=\frac{1}{6}\left(3x^2-4kx+k^2\right)=\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{4}{3}k\,x+\frac{k^2}{3}\right)$$Mit der pq-Formel finden wir als Nullstellen:

$$x_{1;2}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{4}{9}k^2-\frac{k^2}{3}}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{4}{9}k^2-\frac{3}{9}k^2}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{1}{9}k^2}=\frac{2}{3}k\pm\frac{k}{3}$$$$\Rightarrow\quad x_1=\frac{k}{3}\quad;\quad x_2=k$$Um zu bestimmen, ob dort ein Exremum vorliegt und von welcher Art dieses ist, benötigen wir die 2-te Ableitung und beachten, dass \(k>0\) sein soll:$$f''_k(x)=\frac{1}{6}\left(6x-4k\right)$$$$f''_k(x_1)=\frac{1}{6}\left(6\cdot\frac{k}{3}-4k\right)=\frac{1}{6}\cdot(-2k)=-\frac{1}{3}k<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$$$f''_k(x_2)=\frac{1}{6}\left(6\cdot k-4k\right)=\frac{1}{6}\cdot(2k)=\frac{1}{3}k>0\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$

von 147 k 🚀

Ist der y-Wert vom Maximum dann aber 0?

Moment, ich setze mal eben ein:$$f\left(\frac{k}{3}\right)=\frac{1}{6}\left(\left(\frac{k}{3}\right)^3-2k\left(\frac{k}{3}\right)^2+k^2\left(\frac{k}{3}\right)\right)$$$$\phantom{f\left(\frac{k}{3}\right)}=\frac{1}{6}\left(\frac{k^3}{27}-\frac{2k^3}{9}+\frac{k^3}{3}\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{k^3}{27}-\frac{6k^3}{27}+\frac{9k^3}{27}\right)$$$$\phantom{f\left(\frac{k}{3}\right)}=\frac{1}{6}\cdot\frac{4k^3}{27}=\frac{2k^3}{81}$$Der y-Wert des Minimums ist aber richtig, denn \(f(k)=0\).

Dankeschön:) ich hätte noch eine Frage. Ist die Ortskurve des Hochpunktes y= 2x^3/27 ?

Ich weiß nicht genau, was mit Ortskurve des Hochpunktes gemeint ist, habe aber eine Vermutung. Der Hochpunkt liegt bei \(\left(\frac{k}{3};\frac{2k^3}{81}\right)\). Die y-Koordinate kann man umschreiben:$$\frac{2k^3}{81}=\frac{2k^3}{3\cdot27}=\frac{2k^3}{3\cdot3^3}=\frac{2}{3}\,\frac{k^3}{3^3}=\frac{2}{3}\left(\frac{k}{3}\right)^3$$Da der x-Wert des Hochpunktes \(k/3\) beträgt, sollte mit Ortskurve des Hochpunktes$$y=\frac{2}{3}x^3$$gemeint sein. Aber das ist ohne Gewähr, ich weiß nicht, wie die Ortskurve eines Hochpunktes definiert ist.

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