Bestimmen Sie alle Punkte (x0,y0), an denen der Gradient der Funktion

Question

Aufgabe:

Ich möchte Lösung folgender Gleichung herausfinden, sodass die Gleichungen 1 und 2 noch gelten. Aber die Lösung weiß ich schon die auch Sinn machen. Aber ich möchte gern verstehe ich rechnerisch am besten die die Lösung y = 2x bestimmen kann oder mit ablesen oder versuchen.

Gleichung: y² -2xy = 0

Die Lösung muss für die Gleichungen gelten:

1. xy²+y²-8 = 0

2. xy²+2xy -8 = 0

Rechnung:

y²-2xy = 0

Wenn ein Faktor Null ist dann ist das Produkt null, also y = 0, allerdings gilt dann die Lösung für die Gleichung 1 und 2.

Die eine andere Lösung wäre y = 2x, allerdings wäre ich sofort nicht drauf gekommen, wie könnte ich die leicht und gezielt bestimmen.

Gesamte Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie alle Punkte (x0,y0), an denen der Gradient der Funktion

f(x,y) = (xy²-8) (e^{x+y} ) Null ist. Untersuchen Sie, ob diese Punkte lokale Extrema von f auf der Geraden g:y = y0

Comments

wie könnte ich die gerade zu dem bestimmen ?

Answer 1

Wenn ein Faktor Null ist dann ist das Produkt null, also y = 0

In eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen um x zu bestimmen, zum Beispiel in die erste:

        x·0² + 0² - 8 = 0.

Die Gleichung hat keine Lösung. Also kann die Teillösung y = 0 nicht zu einer Lösung vervollständigt werden.

Die eine andere Lösung wäre y = 2x

        \(\begin{aligned} &  & y{{}^2}-2xy & =0\\ & \iff & y\left(y-2x\right) & =0\\ & \iff & y=0 & \vee y-2x=0\\ & \iff & y=0 & \vee y=2x \end{aligned}\)

Die Lösung y = 0 hatten wir gerade ausgeschlossen. Die Lösung y = 2x setzt man in die erste Gleichung ein:

        \(\begin{aligned} &  & x\cdot\left(2x\right)^{2}+\left(2x\right)^{2}-8 & =0\\ & \iff & 4x^{3}+4x^{2}-8 & =0 \end{aligned}\)

Offensichtlich ist x=1 eine Lösung. Falls man das nicht sofort sieht, dann wendet man den Satz über rationale Nullstellen an. Die anschließende Polynomdivision liefert eventuell weitere Werte für x. Die setzt man in eine der vorhergehenden Gleichungen ein um die passende Werte für y zu bestimmen.