Injektivität einer Abbildung

Question

ich habe eine Frage bezüglich der Injektivität einer Abbildung. Unzwar bin ich auf folgende Definition gestoßen:

$$\forall x_1, x_2 \in X : [x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)] \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in X : [f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2]$$

Meine Frage hier ist, ob man den Folgepfeil $\Rightarrow$ nicht mit einem Äquivalenzpfeil $\Leftrightarrow$ tauschen kann,

da laut Definition einer Abbildung jedem Element der Anfangsmenge jeweils nur ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.

Comments

Du meinst, warum man nicht etwa $\forall x_1,x_2\in X : f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2$ schreibt? Wenn ja, ist diese Bedingung viel restriktiver und wird nur von der Identität erfüllt.

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ah ja du hast recht. kleiner denkfehler meinerseits.

Answer 1

Man kann in der Definition

         $f:X\to Y \text{ ist injektiv} :\Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in X : \left(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)\right)$

das $\Rightarrow$ durch $\Leftrightarrow$ ersetzen, ohne das sich an der Bedeutung etwas ändert.

Nachteil daran ist, dass man für den Beweis der Injektivität einer Funktion $f:X\to Y$ nicht nur

        $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$

für alle $x_1,x_2\in X$ zeigen musst, sondern auch noch

  $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1 \neq x_2$.

Letzteres ist zwar, wie du schon bemerkt hast, trivial, aber streng genommen wäre der Beweis nicht vollständig, wenn du nicht zumindest darauf hinweist, dass das trivial ist.