Aloha :)
Wir definieren$$I(n):=\int\limits_0^\infty x^ne^{-x}\,dx$$und bestimmen zunächst \(I(0)\):$$I(0)=\int\limits_0^\infty x^0e^{-x}\,dx=\int\limits_0^\infty e^{-x}=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=\left[-\frac{1}{e^x}\right]_{0}^{\infty}=0-(-1)=1$$Jetzt überlegen wir uns mit Hilfe der partiellen Integration einen Rekurstionsformel:
$$I(n+1)=\int\limits_0^\infty \underbrace{x^{n+1}}_{=u}\,\underbrace{e^{-x}}_{=v'}\,dx=\left[\underbrace{x^{n+1}}_{=u}\,\underbrace{(-e^{-x})}_{v}\right]_{0}^{\infty}-\int\limits_0^\infty\underbrace{(n+1)x^n}_{u'}\,\underbrace{(-e^{-x})}_{v}\,dx$$$$\phantom{I(n+1)}=\underbrace{\left[\frac{x^{n+1}}{e^x}\right]_0^\infty}_{=0}+(n+1)\underbrace{\int\limits_0^\infty x^n\,e^{-x}\,dx}_{=I(n)}$$Da \(e^x\) schneller wächst als jede Potenz von \(x\), geht \(\frac{x^{n+1}}{e^x}\) für \(x\to\infty\) gegen null.
Fassen wir zusammen:$$I(n+1)=(n+1)\cdot I(n)\quad;\quad I(0)=1$$Das ist exakt die Rekursionsgleichung für die Fakultät, sodass:$$I(n)=n!$$
