Sei G eine Gruppe, H ⊆ G und g ∈ G. Beh: H ist Untergruppe von G gdw H ≠ ∅ und ∀x, y ∈ H : x^{-1}y ∈ H.

Question

Hallo

könnte mir jemand vielleicht bei dieser Aufgabe helfen?

Ich habe das mit dem Untergruppenkriterium etc. nicht verstanden und starre meine Blätter nur hilflos an..

Die Aufgabe lautet:

 

Sei G eine Gruppe, H ⊆ G und g ∈ G.

(1) Beweisen Sie das folgende Untergruppenkriterium: H ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn gilt: H ≠ ∅ und ∀x, y ∈ H : x^-1y ∈ H.

(2) DIe Zahl ord(g) = min({∞}∪{k∈ℕ | g^k = 1}) heißt die Ordnung von g. Zeigen Sie: ⟨g⟩ = {g^k  k∈ℤ} ist eine Untergruppe von G und |⟨g⟩| = ord(g).

(3) Zeigen Sie: Ist ord(g) < ∞ und m∈ℤ mit g^m = 1, so gilt ord(g) | m.

 

Answer 1

zum ersten Teil: Bezeichne das neutrale Element von  G  mit  e.
Sei  H ⊆ G. Es gelte  H ≠ ∅  und  x^-1·y ∈ H  für alle  x, y ∈ H.
(1)  Die Assoziativität von  H  folgt aus der Assoziativität von  G.
(2)  Wähle  y = x ∈ H. Dann ist  e = x^-1·x = x^-1·y ∈ H.
(3)  Sei  x ∈ H. Wähle y = e. Nach  (2)  ist  y ∈ H  und damit  x^-1 = x^-1·e = x^-1·y ∈ H.
(4)  Seien z, y ∈ H. Nach  (3)  ist  x := z^-1 ∈ H. Es ist  x^-1 = z  und damit  z·y = x^-1·y ∈ H.
Also ist  H  Untergruppe von  G. Ist andererseits  H  Untergruppe von  G, gelten die Gruppenaxiome in  H  und insbesondere  H ≠ ∅. Sind also  x,y ∈ H, dann sind  x^-1 ∈ H  und  x^-1·y ∈ H.
 

Comments

ok, danke..

aber das verstehe ich alles nicht so ganz.

Könntest du mir das ein wenig näher erklären?

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(1)  besagt, dass in  H  das Assoziativgesetz gilt.
(2)  besagt, dass es in  H  ein neutrales Element gibt.
(3)  besagt, dass jedes Element in  H  ein Inverses in  H  besitzt.
(4)  besagt, dass  H  abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung auf  G  ist.
Damit gelten die Gruppenaxiome in  H.