Inwiefern wurde dieses Lemma angewendet?

Question

ich habe gerade leider Probleme dabei, nachzuvollziehen, wie das unten abgebildete Lemma verwendet wurde. Wir haben es benutzt um Subexponentialität zu zeigen:

Lemma 14.10:

Sei \( F \) eine Verteilungsfunktion auf \( \mathbb{R}_{+} \) mit stetiger Dichtefunktion \( f \) und monoton gegen 0 fallender Hazardrate \( h . \) Dann ist \( F \) genau dann subexponentiell, wenn
$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{x} e^{y h(x)} f(y) \mathrm{d} y=1 $$

Jetzt habe ich allerdings auch eine Aufgabe mit Lösung dazu und verstehe leider gar nicht, inwiefern dieses lemma hier angewendet wurde. Es wurde weder die Hazardrate mit eingebracht noch ein Integral berechnet:

Frage:

Ist die Verteilungsfunktion \( F(t)=\left(1-e^{-\lambda t}\right) \mathbf{1}_{(0, \infty)}(t) \) der Exponentialverteilung mit Parameter \( \lambda>0 \) subexponentiell?
Antwort:
Falsch! Die Bedingung (14.10) an eine subexponentielle Vertellungsfunktion ist fur \( n=2 \) nicht erfulle \( F^{* 2} \) ist die Verteilungsfunktion von \( \operatorname{Exp}(\lambda) * \operatorname{Exp}(\lambda)=\operatorname{Er}(2, \lambda) \), d.h. es ist \( F^{* 2}(t)=\left(1-e^{-\lambda t}(1+\lambda t)\right) \mathbf{1}_{(0, \infty)}(t) \). Für \( t>0 \) gilt also
\( \frac{1-F^{* 2}(t)}{1-F(t)}=\frac{e^{-\lambda t}(1+\lambda t)}{e^{-\lambda t}}=1+\lambda t \longrightarrow \infty \neq 2 \) fur \( t \rightarrow \infty \)

Seht ihr vielleicht was hier gemacht wurde?

VG

Answer 1

Ich kenne die Definition so. Eine Verteilung heisst subexponentiell, wenn gilt

$$  \lim_{x \to \infty} \frac{ \overline{ F ^{n*} }(x) }{ \overline{ F }(x) } = n $$ wobei \( \overline{ F } (x) = 1- F(x) \) und \( F^{n*}(x) = \mathbb{ P } \left(  \sum_{i=1}^n X_i < x \right) \)

Für \( n = 2 \) gilt, $$  \mathbb{ P } \left(  X + Y < x \right) =  \int _0^x f_{X+Y}(t) dt $$ wobei \( f_{X+Y}(t) \) die Dichte der Zufallsvariablenh \( X+Y \) ist. Es gilt für die i.i.d. Zufallsvariablen \( X \) und \( Y \) $$ f_{X + Y } (t) = \int_0^t f(t-u) f(u) du $$ mit Dichte \( f(t) = F'(t) \)

Mit diese Definition folgt

$$  \frac{ \overline{ F ^{n*} }(x) }{ \overline{ F }(x) } = \frac{ 1- \int_0^x \left( \int_0^t f(t-u) f(u) du \right) dt } { 1 - F(x) } =  \lambda x + 1  $$