Bestimme c so, dass die Fläche 75 FE beträgt

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie c so das die fläche zwischen der parabel y=0.5x²  und der geraden mit der gleichung y=c den Inhalt 72 FE hat

Answer 1

Schnittstellen:

0,5x²= c

x = ±√(2c)

A(c) = √(2c) *c - ∫(von 0 bis √(2c)) 0,5x²] = 36

√2* c^1,5- [x³/6](von 0 bis √(2c) = 36

√2*c^1,5-(2^1,5*c^1,5/6-0) = 32

c= 10,48

Comments

warum haben sie 36 als FE genommen

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Es sind zwei identische Flächen.

Es reicht mit einer davon zu rechnen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0.5x%5E2+and+y%3D10+from+…

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das kann doch gar nicht identisch sein weil 72 FE doppelt so groß wie 36 FE ist. Daher ergibt das für mich gerade kein sinn warum sie mit 36 FE gerechnet haben.

Answer 2

Aloha :)

Gegeben ist eine Parabel $y=\frac{1}{2}x^2$ (blau) und eine horizontale Gerade (rot).

Plotlux öffnen

f₁(x) = 0,5·x²f₂(x) = 3x = √(6)x = -√(6)Zoom: x(-3…3,5) y(-1…4)

Die eingeschlossene Fläche soll $72$ FE betragen. Wir müssen zunächst die Integralgrenzen bestimmen, also die $x$-Werte bei denen die lila und die grüne Linie die $x$-Achse schneiden:$$0,5x^2=c\quad\Leftrightarrow\quad x^2=2c \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2c}$$Die eingeschlossene Fläche bekommen wir, wenn wir von dem Rechteck (lila-rot-grün) die Fläche unter der Parabel subtrahieren.$$F=\underbrace{c\cdot 2\sqrt{2c}}_{=\text{Fläche Rechteck}}-\underbrace{\int\limits_{-\sqrt{2c}}^{\sqrt{2c}}\frac{1}{2}x^2\,dx}_{=\text{Fläche unter der Parabel}}$$$$\phantom{F}=(2c)^{3/2}-\left[\frac{1}{6}x^3\right]_{-\sqrt{2c}}^{\sqrt{2c}}=(2c)^{3/2}-\left(\frac{(\sqrt{2c})^3}{6}-\frac{(-\sqrt{2c})^3}{6}\right)$$$$\phantom{F}=(2c)^{3/2}-\frac{(2c)^{3/2}}{3}=\frac{2}{3}\cdot(2c)^{3/2}$$Diese Fläche soll gleich $72$ FE betragen:$$\left.\frac{2}{3}\cdot(2c)^{3/2}=72\quad\right|\quad\cdot\frac{3}{2}$$$$\left.(2c)^{3/2}=108\quad\right|\quad(\cdots)^{2/3}$$$$\left.2c=108^{2/3}\quad\right|\quad\div2$$$$c=\frac{108^{2/3}}{2}\approx\boxed{11,3393}$$

Nachtrag: Ich sehe gerade, dass da noch eine Unstimmigkeit in der Aufgabenstellung ist. Im Titel steht, die Fläche soll $75$ sein, in der Aufgabe steht, die Fläche soll $72$ sein. Ich habe hier mit $72$ gerechnet. Wenn $75$ gemeint ist, musst du den letzten Teil der Rechnung noch anpassen. Das Ergebnis ist dann $c\approx11,6521$.