Wie fängt man da am besten an?

Question

Aufgabe:

\( f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+3 x \)

Problem/Ansatz:

1. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der x-Achse an.
2. Untersuchen Sie die auf Symmetrie.
3. Zeichnen sie die Funktion. Wie fängt man da am besten an?

Danke für eure Hilfe schonmal :)

Answer 1

Aloha :)

1) Forme die Funktionsgleichung ein wenig um$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x=-\frac{1}{3}x(x^2-9)=-\frac{1}{3}x(x-3)(x+3)$$sodass du die Nullstellen \(x=0\;;\;x=-3\;;\;x=3\) sofort ablesen kannst.

2) Ersetze \(x\) durch \((-x)\), um die Symmetrie zu prüfen:$$f(-x)=-\frac{1}{3}(-x)^3+3(-x)=\frac{1}{3}x^3-3x=-\left(-\frac{1}{3}x^3+3x\right)=-f(x)$$Die Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

~plot~ -x^3/3+3x ~plot~

Answer 2

1. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der x-Achse an.

f(x) = 0
- 1/3·x^3 + 3·x = 0
- 1/3·x·(x^2 - 9) = 0
x = 0
x^2 - 9 = 0 → x = ±3

2. Untersuchen Sie die auf Symmetrie.

f(-x) = - 1/3·(-x)^3 + 3·(-x) = 1/3·x^3 - 3·x = - (- 1/3·x^3 + 3·x) = -f(x) → Punktsymmetrisch

3. Zeichnen sie die Funktion.

~plot~ -1/3x^3+3x ~plot~