Wieso ist diese Relation nicht reflexiv?

Question

Ich habe folgende Aufgabe: Sei R ⊆ Z × Z gegeben durch (x, y) ∈ R ⇔ xy > 0.

Dann müssen wir bestimmen, ob die obenstehende Relation R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist.

Meine Lösung:
Ich hätte gesagt, dass diese Relation: reflexiv, transitiv und auch symmetrisch ist. Laut den Lösung ist diese Relation jedoch nur transitiv und auch symmetrisch. Warum ist dies so?

Man kann ja alle Zahlen, welche grösser sind als 0 benutzen. Dann ist sie jedoch auch reflexiv oder nicht?

Comments

Man kann ja alle Zahlen, welche grösser sind als 0 benutzen

Man kann auch alle Zahlen, welche kleiner sind als 0 benutzen. Das eigentliche Problem wurde aber bereits genannt.

Answer 1

Da \(0\in \mathbb{Z}\), stelle dir die Frage ob \((0,0)\in R\).

Comments

Danke vielmals für die Antwort. Stimmt da ja (0,5) ∈ R und ja (5,0) auch ∈ R ist.

MfG
Lenovo

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Das ist falsch. Weder (0,5), noch (5,0) sind Elemente der Relation, da 0*5=5*0=0 (und damit nicht größer 0).

Die eigentliche Erkenntnis sollte folgende sein:

Für Reflexivität müsste für alle \(a\in \mathbb{Z}\) auch \((a,a)\in R\) gelten.

Da allerdings für \(a=0\in \mathbb{Z}\) folgt, dass 0*0=0 und nicht größer 0 ist, ist \((0,0)\notin R\), und damit ist die Relation auch nicht reflexiv.

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Danke. Natürlich, weiss auch nicht was mich da geritten hat.

MfG
Lenovo