0,99 hoch 20 . Jede davon ausrechnen oder gibt es da ein Trick, den ich wissen muss?

Question

0,99 hoch 20 . Muss ich jetzt jede davon ausrechnen oder gibt es da ein Trick, den ich wissen muss?

Aufgabe:

0,99²⁰

Problem/Ansatz:

(1-0,01)²⁰

Habe das in Binomialkoeffizienten zerlegt(20 Stück). Muss ich jetzt jede davon ausrechnen oder gibt es da ein Trick, den ich wissen muss?

Answer 1

Was hältst du davon das einfach so in den Taschenrechner einzutippen?

0.99²⁰ ≈ 0.8179

Wozu möchtest du das was mit Binomialkoeffizienten machen?

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(1 - h)²⁰ = 1 - 20·h + 190·h² - 1140·h³ + 4845·h⁴ - 15504·h⁵ + 38760·h⁶ - 77520·h⁷ + 125970·h⁸ - 167960·h⁹ + 184756·h¹⁰ - 167960·h¹¹ + 125970·h¹² - 77520·h¹³ + 38760·h¹⁴ - 15504·h¹⁵ + 4845·h¹⁶ - 1140·h¹⁷ + 190·h¹⁸ - 20·h¹⁹ + h²⁰

Wenn dir also eine Lineare Näherung langt

≈ 1 - 20·0.01 = 0.8

oder eine quadratische Näherung

≈ 1 - 20·0.01 + 190·0.01² = 0.819

Du siehst das ist schon recht brauchbar als Näherung.

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Und, wenn man den gar nicht benutzen darf?

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Wenn du es exakt haben willst rechnest du alle Binomialkoeffizienten aus. Ansonsten lässt du genügend hohe potenzen von h weg weg.

Die quadratische Näherung (siehe oben) sollte man dabei noch sehr schnell ohne Taschenrechner hinbekommen.

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Wie lange bräuchtest du denn, um ALLES ohne Taschenrechner auszurechnen?

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Ich würde das sicher nicht ohne Taschenrechner ausrechnen. Zumindest nicht exakt. Das überlasse ich gerne Dir oder Chuck Norris.

Answer 2

Das kommt auf die gewünschte Genauigkeit an.

0,01²⁰ wirst du ja nicht brauchen.

Also fang mit den ersten Summanden an und guck, ab wann sich z.B. die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.

1

1 -20*0,01=0,8

0,8+190*0,0001=0,8+0,019=0,819

0,819-1140*0,000001=081786

:-)

Comments

Das kommt auf die gewünschte Genauigkeit an.

genau - und da ist man recht schnell bei einem guten Wert: $$\begin{aligned}(1-0,01)^{20} &\approx 1 - 20 \cdot 0,01 + 190 \cdot 0,01^2 - 1140 \cdot 0,01^3 \\ & \approx 1 - 0,2 = 0,8 \\ & \approx 0,8 + 0,019 = 0,819 \\ & \approx 0,819 - 0,00114 = 0,81786 \approx 0,8179 \end{aligned}$$die Stelle im Ergebnis, die sich mit jedem neuen Glied noch ändert, wächst ungefähr mit jedem Glied um 1 nach hinten.