0,99 hoch 20 . Muss ich jetzt jede davon ausrechnen oder gibt es da ein Trick, den ich wissen muss?
Aufgabe:
0,9920
Problem/Ansatz:
(1-0,01)20
Habe das in Binomialkoeffizienten zerlegt(20 Stück). Muss ich jetzt jede davon ausrechnen oder gibt es da ein Trick, den ich wissen muss?
Was hältst du davon das einfach so in den Taschenrechner einzutippen?
0.99^20 ≈ 0.8179
Wozu möchtest du das was mit Binomialkoeffizienten machen?
(1 - h)^20 = 1 - 20·h + 190·h^2 - 1140·h^3 + 4845·h^4 - 15504·h^5 + 38760·h^6 - 77520·h^7 + 125970·h^8 - 167960·h^9 + 184756·h^10 - 167960·h^11 + 125970·h^12 - 77520·h^13 + 38760·h^14 - 15504·h^15 + 4845·h^16 - 1140·h^17 + 190·h^18 - 20·h^19 + h^20
Wenn dir also eine Lineare Näherung langt
≈ 1 - 20·0.01 = 0.8
oder eine quadratische Näherung
≈ 1 - 20·0.01 + 190·0.01^2 = 0.819
Du siehst das ist schon recht brauchbar als Näherung.
Und, wenn man den gar nicht benutzen darf?
Wenn du es exakt haben willst rechnest du alle Binomialkoeffizienten aus. Ansonsten lässt du genügend hohe potenzen von h weg weg.
Die quadratische Näherung (siehe oben) sollte man dabei noch sehr schnell ohne Taschenrechner hinbekommen.
Wie lange bräuchtest du denn, um ALLES ohne Taschenrechner auszurechnen?
Ich würde das sicher nicht ohne Taschenrechner ausrechnen. Zumindest nicht exakt. Das überlasse ich gerne Dir oder Chuck Norris.
Das kommt auf die gewünschte Genauigkeit an.
0,01^20 wirst du ja nicht brauchen.
Also fang mit den ersten Summanden an und guck, ab wann sich z.B. die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
1
1 -20*0,01=0,8
0,8+190*0,0001=0,8+0,019=0,819
0,819-1140*0,000001=081786
:-)
genau - und da ist man recht schnell bei einem guten Wert: $$\begin{aligned}(1-0,01)^{20} &\approx 1 - 20 \cdot 0,01 + 190 \cdot 0,01^2 - 1140 \cdot 0,01^3 \\ & \approx 1 - 0,2 = 0,8 \\ & \approx 0,8 + 0,019 = 0,819 \\ & \approx 0,819 - 0,00114 = 0,81786 \approx 0,8179 \end{aligned}$$die Stelle im Ergebnis, die sich mit jedem neuen Glied noch ändert, wächst ungefähr mit jedem Glied um 1 nach hinten.
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