a)$$\begin{aligned}x-\sqrt{x}-1 &= 0 \\ -\sqrt{x} &= 1-x \\ x&=(1-x)^2\\x&=x^2-2x+1\\0&=x^2-3x+1\\\vdots &&\lvert\;\text{Tipp: p,q-Formel}\\x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$$
b) $$\begin{aligned}\ln(x^2+2)-1&=0\\ \ln(x^2+2)&=1\\\vdots &&\lvert\; \text{Tipp: } e^{\ln(x^2+2)}=x^2+2\\ x_{1,2}&=\pm\sqrt{e-2}\end{aligned}$$
c) Tipp: \(\sin(x)^2=1-\cos(x)^2\) und dann Ausklammern. Dann muss einer der beiden Produkte 0 werden, damit der Gesamtterm 0 wird. Denke auch daran, dass \(\cos(x)=0\) für \(x=\pi n -\frac{\pi}{2}\) für \(n\) aus den ganzen Zahlen erfüllt ist.
$$\begin{aligned}\sin(a)^2-\cos(a)-1&=0\\1-\cos(a)^2-\cos(a)-1&=0\\-\cos(a)-\cos(a)^2&=0\\-\cos(a)(1+\cos(a))&=0\\\vdots&&\lvert\;\text{ Tipp: Wann ist der Term 0?} \\a_1=\pi n_1 +\pi/2 &\text{ oder } a_2=2\pi n_2 +\pi \end{aligned}$$ für \(n_1\in\mathbb{Z}\) und \(n_2\in\mathbb{Z}\).
Lösungen:
[spoiler]
a)$$\begin{aligned}x-\sqrt{x}-1&=0\\-\sqrt{x}&=1-x\\x&=(1-x)^2\\x&=x^2-2x+1\\x^2-3x+1&=0\\x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-1}\\x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$$b)$$\begin{aligned}\ln(x^2+2)-1&=0\\ \ln(x^2+2)&=1 &&\lvert\; e^{()}\\x^2+2&=e\\x^2&=e-2\\x_{1,2}&=\pm\sqrt{e-2}\end{aligned}$$c)$$\begin{aligned}\sin(a)^2-\cos(a)-1&=0\\1-\cos(a)^2-\cos(a)-1&=0\\-\cos(a)-\cos(a)^2&=0\\-\cos(a)(1+\cos(a))&=0\\\cos(a)(1+\cos(a))&=0\\\cos(a_1)=0 \quad \cos(a_2)+1&=0 \\a_1=\pi n_1 +\pi/2 \quad \;\!a_2&=2\pi n_2 +\pi\quad \text{für}\quad n_1\in\mathbb{Z} \quad n_2\in\mathbb{Z}. \end{aligned}$$
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