Exponentialgleichung lösen: 2^(6x+2) + 8^(2x-1) = 4^(3x) + 25

Question

Aufgabe:

Exponentialgleichung lösen: 2^{6x+2} + 8^{2x-1} = 4^{3x} + 25

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E%286x%2B2%29+%2B+8%5E%282x-1%29+%3D+4%5E%283x%29+%2B+25

Problem/Ansatz:

Ich habe es jetzt 2 mal versucht und komme nicht auf die Lösung.

Comments

Siehe auch https://www.matheretter.de/wiki/exponentialgleichungen-losen

Answer 1

2^(6·x + 2) + 8^(2·x - 1) = 4^(3·x) + 25
2^(6·x + 2) + 2^(6·x - 3) = 2^(6·x) + 25
4·2^(6·x) + 1/8·2^(6·x) - 2^(6·x) = 25
25/8·2^(6·x) = 25
2^(6·x) = 8
2^(6·x) = 2^3
6·x = 3
x = 0.5

Answer 2

Aloha :)

$$\left.2^{6x+2}+8^{2x-1}=4^{3x}+25\quad\right|\quad\text{nur 2-er-Potenzen schreiben}$$$$\left.2^{6x+2}+(2^3)^{2x-1}=(2^2)^{3x}+25\quad\right|\quad\text{vereinfachen mit \((a^b)^c=a^{bc}\)}$$$$\left.2^{6x+2}+2^{6x-3}=2^{6x}+25\quad\right|\quad\text{Potenzen zerlegen}$$$$\left.2^2\cdot2^{6x}+2^{-3}\cdot2^{6x}=2^{6x}+25\quad\right|\quad\text{alle Potenzen ohne \(x\) ausrechnen}$$$$\left.4\cdot2^{6x}+\frac{1}{8}\cdot2^{6x}=2^{6x}+25\quad\right|\quad-2^{6x}$$$$\left.3\cdot2^{6x}+\frac{1}{8}\cdot2^{6x}=25\quad\right|\quad\text{\(2^{6x}\) ausklammern}$$$$\left.2^{6x}\left(3+\frac{1}{8}\right)=25\quad\right|\quad\text{Klammer ausrechnen}$$$$\left.2^{6x}\cdot\frac{25}{8}=25\quad\right|\quad\div25$$$$\left.2^{6x}\cdot\frac{1}{8}=1\quad\right|\quad\cdot8$$$$\left.2^{6x}=8=2^3\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.6x\ln2=3\ln2\quad\right|\quad\div\ln2$$$$\left.6x=3\quad\right|\quad\div6$$$$\left.x=\frac{1}{2}\quad\right.$$

Comments

Du sparst dir zwei Zeilen, wenn du einen Exponentenvergleich machst.

2^(6x)=2^3 nur, wenn 6x=3.

Oder machst du das aus didaktischen Überlegungen nicht?

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Genau, ich rechne lieber sauber, damit Frost die Chance hat, die Rechnung vollständig zu verstehen. Wenn ich zu viel geschrieben habe, kann er es ja einfach überlesen.

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Und welchen Hintergrund hat es, dass du dann den Logarithmus Naturalis verwendest? Wäre \(\log_2(...)\) nicht konsequenter?

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Das ist egal. Ich hätte auch den Logarithmus zur Basis \(\pi^2\) verwenden können, weil sich der Logarithmus-Anteil sowieso rauskürzt.

Answer 3

Auffällig sind die vielen 2 en.

$$2^{6x+2} + 8^{2x-1} = 4^{3x}+ 25$$$$2^{6x+2 }+ 2^{6x-3} = 2^{6x}+ 25$$$$2^{6x+2} + 2^{6x-3 }- 2^{6x} =25$$$$(4+1/8-1)*2^{6x}=25$$$$2^{6x}=25/(25/8)=8=2^3$$$$x=0,5$$