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Guten Tag werte Mathelounge!

Aufgabe:

Ein Ball hat zum Zeitpunkt t= 0 eine Geschwindigkeit von 6m/s in Richtung (1,−2,2). Auf den Ball wirkt als einzige Kraft die Erdbeschleunigung ein. Geben Sie Differentialgleichungen an, die die Bahn des Balles (x(t), y(t), z(t)) beschreiben.

Problem/Ansatz:

Ich hätte zuerst versucht, über die Erdbeschleunigung mir die anderen Gleichungen herzuleiten, jedoch gelang mir dies nicht.

Mein Ansatz:

s(t)=at²+bt+c

v(t)=2at+b

a(t)=2a = -g -> a= g2 \frac{-g}{2}

Daraus schloss ich auf v(t)=-g*t+b. Durch Einsetzen von der in der Angabe enthaltenen Geschwindigkeit 6m/s bei t=0 (ist das erlaubt??) kam ich auf b=6. Daraus ergab sich wiederum s(t)= g2 \frac{-g}{2} *t²+6t+c. An diesem Punkt komme ich leider nicht mehr weiter, wie kann ich nun auf die Bahn des Balles (x(t), y(t), z(t)) schließen? Kann ich einfach in s(t) bei t=0 die Argumente der Richtung (also x=1, y=-2, c=2) einsetzen und so die einzelnen Gleichungen aufstellen?

Leider weiß ich hier nicht mehr weiter. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar! :)
Gruß.

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Die Erdbeschleunigung stört nur entlang der Applikate.

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

in x und y Richtung wirkt keine Kraft also

x''(t)=0  mit der Anfangsbedingung x'(0)= v_x , x(0)= festlegen

ebenso y''(t)=0

z''(t)=-g

das sind die gesuchten Differentialgleichungen, nur noch für die Anfangsbedingungen den Anfangspunkt festlegen und aus |v| und Richtung die 3 Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen.

natürlich ist in z Richtung v_z(0)  nicht  6m/s

geschrieben hast du nur, dass du die Dgl brauchst, ob du die Bahn brauchst steht da nicht, ist aber leicht aus den Dgl zu bestimmen.

Gruß lul

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Aloha :)

Der Geschwindigkeitsvektor zu Beginn ist: v0=(2;4;4)T\vec v_0=(2;-4;4)^T. Ich habe die Komponenten verdoppelt, weil dann der Vektor die Länge 22+(4)2+42=6\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}=6 hat, was dem Tempo von 6m/s6\,\mathrm m/\mathrm s bei t=0t=0 entspricht. Weil die Gravitationskraft in die entgegengesetzte zz-Richtung wirkt, lautet die Bewegungsgleichung:(x¨y¨z¨)=(00g);v0=(244);g=9,81\begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot y\\\ddot z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-g\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_0=\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}\quad;\quad g=9,81Die Einheiten habe ich alle weggelassen, weil wir alle Zahlenwerte in den Basiseinheiten des SI-Systems vorliegen haben. Im nächsten Schritt integrieren wir diese Bewegungsgleichung:(x˙y˙z˙)=(00gt)+v0=(00gt)+(244)=(244gt)\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\\\dot z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-gt\end{pmatrix}+\vec v_0=\begin{pmatrix}0\\0\\-gt\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\4-gt\end{pmatrix}Mehr können wir nicht tun, für die nächste Integration brauchen wir die Koordinaten s0\vec s_0 des Balles zum Zeitpunkt t=0t=0.

Avatar von 153 k 🚀

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