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Aufgabe:

Wir sollen die beiden Mengen aller komplexen Zahlen mit

|z-1| + |z+1| ≤ 4 bzw.

| z/ (z-1) | ≤ 1

zeichnen.


Ich habe die Gleichung mit z=a +bi versucht zu vereinfachen und dann quadriert, aber irgendwie bekomme ich eine Wurzel nicht weg und das ist eine ewige Rechnerei ohne Ziel... Kann mir bitte jemand helfen? Danke.

von

2 Antworten

+1 Daumen

Das erste Bild ist das Innere und der Rand einer Ellipse mit den Brennpunkten 1 und -1.

Das zweite Bild ist die Gerade x=0,5 und die Halbebene links davon.

von 19 k

Okay danke wie kommt man darauf?

,........

War Blödsinn.

:-)

|c-d| bedeutet "Abstand zwischen c und d".

|z-1| ist also der Abstand einer komplexen Zahl z zur komplexen Zahl 1.

|z+1| kann geschrieben werden als |z-(-1)| und ist somit der Abstand der komplexen Zahl z.

|z-1| + |z+1|=4 heißt: Die Summe der Abstände von z zu 1 und von z zu -1 ist 4.

Eine Ellipse ist übrigens definiert als Menge aller Punkte, für die die Summe ihrer Abstände zu zwei fest vorgegebenen Punkten (den Brennpunkten der Ellipse) konstant ist.

| z/ (z-1) | kann man schreiben als | z|/ |z-1|.

| z/ (z-1) |<1 bedeutet also | z|/ |z-1|.<1 bzw.

| z|< |z-1| bzw.

| z-0|< |z-1|.

z hat also zur Zahl 0  einen geringeren Abstand als zur Zahl 1.

Im Falle der Gleichheit | z-0|= |z-1| ist z von 0 genau so weit entfernt wie von 1. Das triff gerade für die Gerade x=0,5 zu.

Zur Ellipse:

Die Punkte auf den Achsen sind ±2 und ±i√3.

:-)

Vielen Dank euch beiden!

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Unbenannt.PNG

Text erkannt:

\( \left|\frac{z}{z-1}\right| \leq 1 \)
\( \sqrt{\left(\frac{z}{z-1}\right)^{2}} \leq\left. 1\right|^{2} \)
\( \left(\frac{z}{z-1}\right)^{2} \leq 1 \)
\( \frac{z^{2}}{(z-1)^{2}} \leq 1 \)
\( z^{2} \leq(z-1)^{2} \)
\( z^{2}-(z-1)^{2} \leq 0 \)
\( [z+(z-1)] \cdot[z-(z-1)] \leq 0 \)
\( 2 z \leq 1 \)
\( z \leq \frac{1}{2} \)
\( \left(-\infty \leq z \leq \frac{1}{2}\right] \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Unbenannt1.PNG

von

2z ≥1 ist grober Unfug. In der Menge der komplexen Zahlen gibt es keine Ordnungsrelation.

Du hast doch selbst geschrieben:

"Das zweite Bild ist die Gerade x=0,5 und die Halbebene links davon."

Das kommt im Bild von mir doch auch zum Ausdruck.


mfG


Moliets

Ja, das kommt im Bild klar zum Ausdruck.

Aber dein Weg dorthin ist mathematisch falsch. Zwischen zwei komplexen Zahlen gibt es kein "kleiner als" oder "größer als".

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