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Aufgabe:

Zeichne die Menge :
\( M=\{z \in \mathbb{C} :|z|+\operatorname{Re} z \leq 1\}\)


Problem/Ansatz:

sei \( z=x+i y\)  dann gilt :

\( \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \leq 1\)

\( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1-x\)

\(x^{2}+y^{2} \leq(1-x)^{2}\)

\(y^{2} \leq 1-2 x\)

ich weiß es nicht, wie ich diese Ungleichung lösen kann.

von

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Beste Antwort

Einfacher ist es, wenn du nach x auflöst und dann dein Zeichenblatt nach üblicher Achsenbeschriftung um 90° drehst.

y^{2} ≤ 1-2 x

2x ≤ 1 - y^{2}

x ≤ 1/2 - 1/2 y^2

Das Gebiet, das du suchst, wird durch die Parabel  begrenzt.

Gedrehtes Blatt: D.h. x und y im Folgenden vertauscht:

Parabel nach unten geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor 1/2 in x-Richtung gestaucht.

Nun noch verschieben bis Scheitelpunkt S(0 | 1/2 ).

Dann alles unterhalb der Parabel schraffieren und Parabelbogen gleichfarbig ausziehen.


Zum Schluss Blatt wieder drehen. Nun gilt S(1/2 |0) und schraffiert ist das Gebiet links von der Parabel (inklusive Parabelbogen).

von 154 k

Hallo Lu,

Ich halte das zwar - bezogen auf meine Antwort - nicht für "(handwerklich) einfacher" aber dein Vorschlag gefällt mir :-)

-----------

Nachtrag , weil ich durch den Daumen die Reihenfolge der Antworten verändert habe :-) 

Gruß Wolfgang

Danke für den Pluspunkt :)

Falls ihr euch näher mit Kegelschnitten beschäftigen möchtet, Tipp: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Scheitelgleichung_einer_Kegelschnittschar

Man muss die "liegende Parabel" noch geeignet verschieben.

Muss man das Gebiet am Computer schraffieren, könnte das Drehen des Zeichenblattes nicht ganz so einfach zu haben sein. 

Alle Punkte auf unserer Parabel haben vom Brennpunkt und von der Leitgeraden den gleichen Abstand.

Hier könnte man die gegebene Gleichung von Anfang an geometrisch analysieren.

| z | = 1-x

Brennpunkt: B(0|0), Leitgerade hat die Gleichung x=1.

Wiederum im Prinzip https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)#Definition_mit_Leitlinie gedreht. Oder ?

+2 Daumen

Hallo,

y2 ≤ 1 - 2x   ,  x,y ∈ ℝ

in ℝxℝ hat die Ungleichung nur Lösungen für 1-2x ≥ 0, also für   x ≤ 1/2 :

|y| ≤ √(1 - 2x)

-√(1 - 2x) ≤ y ≤ √(1 - 2x)

  y ≥ -√(1 - 2x)  ∧  y ≤ √(1 - 2x)  

wenn du jetzt die beiden Wurzelfunktionen zeichnest, hast du M zwischen den beiden Graphen (Rolands Bild!)

Gruß Wolfgang

von 82 k

deine Lösung ist super klar und einfach ...da ich mich mit Parabelen nicht besonders gut auskenne.
Vielen Danke :)

immer wieder gern :-)

+2 Daumen

Du warst doch schon bei 99 m bei einem 100 m lauf. Du bräuchtest nur noch einen Schritt über die Ziellinie machen.

$$ y^{2} \leq 1 - 2x \\ x \leq 0.5 - 0.5 y^2 $$

Das sieht also wie eine Parabel aus nur das die x- und y-Achse vertauscht ist. Also eine nach links geöffnete Parabel.

von 302 k

Achte bei mir in der Skizze darauf das ich extra für dich die x- und y-Achse vertauscht habe damit du die Parabel besser sehen kannst:

blob.png

super einfach ...Danke

+1 Daumen

Du sollst keine Ungleichung lösen, sondern eine der Ungleichungen graphisch darstellen:

blob.png

von 62 k

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