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Gegeben sei die Funktion \( f \) durch \( f(x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh (x+2)+\sinh ^{2}(x)-2 \cosh ^{2}(x)+1 \)
(a) Bestimmen Sie die \( x- \) Werte der Nullstellen \( N \) von \( f \). \( N= \)
同毒
(b) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \( f(x) \). \( f^{\prime}(x)= \)
(c) Berechnen Sie die Tangente \( y=t(x) \) an der Stelle \( x_{0}=1 \).
\( t(x)=0 \)

Ich wär sehr dankbar wenn mir jemand bei a) und b) behilflich wäre. Funktionieren die Additionstherme sowie die Ableitungsgestze bei den Hyperbolicus Funktionen wie bei dem normalen sinus und cosinus?

vor von

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Aloha :)

Ich würde die Funktionsgleichung zunächst etwas vereinachen:$$f(x)=\cosh^2(x)+\sinh(x+2)+\sinh^2(x)-2\cosh^2(x)+1$$$$\phantom{f(x)}=\sinh(x+2)+\underbrace{\sinh^2(x)-\cosh^2(x)}_{=-1}+1=\sinh(x+2)$$(a) Wegen \(\sinh(0)=0\) liegt die einzige Nullstelle bei \(x=-2\).

(b) Die Ableitung kann man sofort angeben: \(f'(x)=\cosh(x+2)\).

(c) Die Tangente im Punkt \(x_0=1\) lautet:

$$t_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)$$$$\phantom{t_1(x)}=\sinh(3)+\cosh(3)\cdot(x-1)=\cosh(3)\cdot x+\sinh(3)-\cosh(3)$$$$\phantom{t_1(x)}\approx10,067662\cdot x-0,049787$$

~plot~ sinh(x+2) ; 10,067662*x-0,049787 ; {1|sinh(3)} ; [[-3|2|-3|20]] ~plot~

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