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Gegeben sei die Funktion f f durch f(x)=cosh2(x)+sinh(x+2)+sinh2(x)2cosh2(x)+1 f(x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh (x+2)+\sinh ^{2}(x)-2 \cosh ^{2}(x)+1
(a) Bestimmen Sie die x x- Werte der Nullstellen N N von f f . N= N=
同毒
(b) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) f(x) . f(x)= f^{\prime}(x)=
(c) Berechnen Sie die Tangente y=t(x) y=t(x) an der Stelle x0=1 x_{0}=1 .
t(x)=0 t(x)=0

Ich wär sehr dankbar wenn mir jemand bei a) und b) behilflich wäre. Funktionieren die Additionstherme sowie die Ableitungsgestze bei den Hyperbolicus Funktionen wie bei dem normalen sinus und cosinus?

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Aloha :)

Ich würde die Funktionsgleichung zunächst etwas vereinachen:f(x)=cosh2(x)+sinh(x+2)+sinh2(x)2cosh2(x)+1f(x)=\cosh^2(x)+\sinh(x+2)+\sinh^2(x)-2\cosh^2(x)+1f(x)=sinh(x+2)+sinh2(x)cosh2(x)=1+1=sinh(x+2)\phantom{f(x)}=\sinh(x+2)+\underbrace{\sinh^2(x)-\cosh^2(x)}_{=-1}+1=\sinh(x+2)(a) Wegen sinh(0)=0\sinh(0)=0 liegt die einzige Nullstelle bei x=2x=-2.

(b) Die Ableitung kann man sofort angeben: f(x)=cosh(x+2)f'(x)=\cosh(x+2).

(c) Die Tangente im Punkt x0=1x_0=1 lautet:

t1(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)=f(1)+f(1)(x1)t_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)t1(x)=sinh(3)+cosh(3)(x1)=cosh(3)x+sinh(3)cosh(3)\phantom{t_1(x)}=\sinh(3)+\cosh(3)\cdot(x-1)=\cosh(3)\cdot x+\sinh(3)-\cosh(3)t1(x)10,067662x0,049787\phantom{t_1(x)}\approx10,067662\cdot x-0,049787

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f1(x) = sinh(x+2)f2(x) = 10,067662·x-0,049787P(1|sinh(3))Zoom: x(-3…2) y(-3…20)


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