Injektivität der Abbildung zeigen

Question

Aufgabe:

Folgende Abbildung soll auf Surjektivität und Injektivität untersucht werden:

$$f_1:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2;(a,b)\mapsto (2a+b,a-2b)$$

Problem/Ansatz:

Die surjektivität konnte ich beweisen, indem ich gezeigt habe, dass die einzelnen Glieder des Tupels im Ergebnis alle Reelen Zahlen abdecken.

Nun habe ich grundlegende Probleme die Injektivität zu zeigen. Schon bei der Beweisidee scheitere ich und meine Arbeitsgruppe.

Kann uns irgendwer einen Denkanstoß oder eine Beweisidee geben?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Die Elemente der Zielmenge \(\mathbb R^2\) sind hier 2-Tupel. Wir nehmen daher an, es gibt 2 Elemente aus der Defintionsmenge, etwa \((a_1;b_1)\) und \((a_2;b_2)\), die dasselbe Bild haben, und zeigen, dass diese beiden Elemente identisch sein müssen:$$f(a_1;b_1)=f(a_2;b_2)\quad\Rightarrow\quad\binom{2a_1+b_1}{a_1-2b_1}=\binom{2a_2+b_2}{a_2-2b_2}$$Wir erhalten 2 Gleichungen für 4 Unbekannte:$$\begin{array}{rrrrrrrrl}2a_1&+&b_1 &=& 2a_2&+&b_2\\a_1&-&2b_1 &=& a_2&-&2b_2 &|&\cdot2\\\hline2a_1&+&b_1 &=& 2a_2&+&b_2\\2a_1&-&4b_1 &=& 2a_2&-&4b_2 &|&\text{Z1}-\text{Z2}\\\hline & & 5b_1 &=& & & 5b_2 &|&\div5\\\hline&& b_1&=&&&b_2\end{array}$$Aus \(b_1=b_2\) folgt sofort \(a_1=a_2\). Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge, die auf dasselbe Element der Zielmenge abbilden. Jedes Element der Zielmenge wird daher höchstens 1-mal erreicht. Die Abbildung ist injektiv.