Für welche Zahlen gilt dieser Satz?

Question

Beschreibe die Menge aller natürlichen Zahlen k, für die gilt: Die Summe von k aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch k teilbar.

Begründe deine Antwort.

Answer 1

zwei aufeinanderfolgende Zahlen:

1+2, 2+3, 3+4, 4+5, ...  Sind diese Summen durch 2 teilbar?

drei aufeinanderfolgende Zahlen:
1+2+3, 2+3+4, 3+4+5, 4+5+6, ... Sind diese Summen durch 3 teilbar?

vier aufeinanderfolgende Zahlen:
1+2+3+4, 2+3+4+5, 3+4+5+6, 4+5+6+7, ... Sind diese Summen durch 4 teilbar?

Wenn du diese drei Fragen beantwortet hast: Setze selbständig fort!!!

Comments

Lassen wir doch einmal die Folge der n aufeinander folgenden natürlichen Zahlen exemplarisch bei 1 beginnen und bei n enden. Wenn die Summe dieser Zahlen durch n teilbar sein soll, muss bei der Division durch n das Ergebnis ganzzahlig sein.

Nun gilt (nicht erst) seit Gauß 1+2+...+(n-1)+n=n(n+1)/2. wenn man diese Summe durch n teilt, entsteht (n+1)/2. Das ist nur ganzzahlig für jede ungerade Zahl n.

Und wenn die Folge der n aufeinanderfolgenden Zahlen nicht bei 1 beginnt?

2+3+...+(n-1)+n+(n+1) ist genau um n größer als 1+2+...+(n-1)+n, weil jeder der n Summanden um 1 größer geworden ist.

3+4...+(n-1)+n+(n+1)+(n+2) ist genau um 2n größer als 1+2+...+(n-1)+n, weil jeder der n Summanden um 2 größer geworden ist

usw.

Wenn also 1+2+...+(n-1)+n durch n teilbar ist, dann ist auch jede andere Summe von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch n teilbar.

Answer 2

die ungeraden: Begründung: arithmetische Summe

lul

Answer 3

k teilt k aufeinander folgende ungerade Zahlen

$$ \sum\limits_{i=m}^{m+k-1}{2i-1} =$$

$$ \sum\limits_{i=1}^{m+k-1}{2i-1} -\sum\limits_{i=1}^{m-1}{2i-1}=$$

$$2*(m+k-1)*(m+k)+(m+k-1)$$$$-(2*(m-1)*(m)+(m-1))=$$

$$2*(2m+k-1)k+k$$

$$k|(2*(2m+k-1)k+k)$$

darum

$$k| \sum\limits_{i=m}^{m+k-1}{2i-1} $$

Comments

Oh, das war jetzt sinnfrei.

1) für gerade Zahlen gilt es nicht. Die Summe aus zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ungerade und somit NICHT durch die Anzahl 2 teilbar.

2) Wenn es angeblich für gerade und für ungerade Zahlen gilt - warum dann noch Kubikzahlen erwähnen?

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Ich dachte an vier Zahlen, keine Ahnung warum, muss wohl was durcheinander bekommen haben.

Danke.

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Antwort geändert............