Funktionsgleichung einer Funktion 4. Ordnung bestimmen

Question

Ich brauche mal wieder eure Hilfe bei einer Aufgabe, hoffentlich wisst ihr wie die geht! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Der Graph einer Funktion 4. Ordnung verläuft bezüglich der y-Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.

Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

Answer 1

Durch die Achsensymmetrie zur y-Achse entfallen alle ungeraden Potenzen. Wähle also:

$f(x)=ax^4+bx^2+c$ als Ansatz.

$f$ geht durch den Koordinantenursprung: $f(0)=c=0$

Die Tangente im Punkt $P(1|-17)$ besitzt die Steigung $-32$: $f(1)=-17$ und $f'(1)=-32$

Comments

Okay danke, und weiter? Verstehe das echt nicht :(

---

Also, du hast $f(x)=ax^4+bx^2+c$ und die Bedingungen herausgearbeitet. Hiermit hast du schon den schwierigsten Teil hinter dir.

Wenn ich schreibe $f(0)=0$ meine ich damit, dass:

$f(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c=0$ sein muss. Damit folgt also, dass $c=0$.

Wenn ich schreibe $f(1)=-17$, dann meine ich damit:

$f(1)=a\cdot 1^4+b\cdot 1^2+c=a+b+c=-17$. Da du weißt, dass $c=0$, kannst du auch $a+b=-17$ schreiben.

Wenn ich schreibe $f'(1)=-32$ musst du deine Ansatzfunktion $f(x)=ax^4+bx^2+c$ erst einmal einmal ableiten, also $f'(x)=4ax^3+2bx$. Also:

$f'(1)=4a\cdot 1^3+2b\cdot 1=4a+2b=-32$. Du hast also noch ein 2x2-Gleichungssystem zu lösen:

(i) $a+b=-17$

(ii) $4a+2b=-32$

Aber $c=0$ nicht vergessen!

---

okay... und dann?

---

Hast du a,b berechnet?

---

nein, ich hab keine Ahnung was und wie ich das machen soll.

---

Du weißt doch, was ein Gleichungssystem ist?

a+b=-17 und 4a+2b=-32

Du könntest z. B. die erste Gleichung nach a umstellen: a=-17-b und das dann in die zweite Gleichung einsetzen:

4(-17-b)+2b=-32 ....

daraus folgt b=-18 und a=-17-(-18)=1

---

okay, das heißt sie haben gerade a und b berechnet. (?) wie gehts dann weiter?

---

Ja, du suchst eine Funktion mit dem Ansatz $f(x)=ax^4+bx^2+c$ und hast jetzt $a,b,c$ gefunden. Du hast also $f(x)=1\cdot x^4-18x^2+0=x^4-18x^2$. Mir scheint es so, als wüsstest du weder um was es gerade geht noch im geringsten was du zu tun hast. Du solltest dringend dieses Thema wiederholen.

---

hab eben einen Englischaufsatz geschrieben. mache für heute mal eine pause und schaue mir das morgen nochmal gründlich an. danke für ihre hilfe :)

Answer 2

Nutze zur Hilfe und Selbstkontrolle

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(0)=0
f'''(0)=0 → b = d = 0 aufgrund der Symmetrie

f(0)=0 --> e = 0
f(1)=-17 --> a + c = -17
f'(1)=-32 --> 4a + 2c = -32

Ich herhalte nach dem Lösen die Funktionsgleichung

f(x) = x⁴ - 18·x²

Answer 3

Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.

$$f(x)=ax^4+bx^2+c$$$$f'(x)=4ax^3+2bx$$$$f(0)=c=0$$$$f(1)=a+b=-17$$$$f'(1)=4a+2b=-32$$$$2a=2$$

$$a=1; b=-18;c=0$$

$$f(x)=x^4-18x^2$$

Answer 4

Der Graph einer Funktion 4. Ordnung verläuft bezüglich der y-Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.
Symmetrie bezüglich der y-Achse => nur gerade
Potenzen
f ( x ) = ax⁴ + bx² + c
geht durch Koordinatenursprung
( 0 | 0 )
f ( 0 ) = a*0 + b*0 + c = 0  => c = 0
f ( x ) = ax⁴ + bx²
f ´( x ) = 4a * x³ + 2bx

( 1 | -17 )
f ( 1 ) = a*1⁴ + b * 1² = -17
f ´( 1 ) = 4a * 1³ + 2b *1 = -32

a + b = -17  =>  b = -17 - a
4a + 2b = -32 
b einsetzen
---------------
4a + 2 * ( -17 - a ) = -32
4a - 34 - 2a = -32
2a = 2
a = 1
Einsetzen
a + b = -17
1 + b = -17
b = -18

f ( x ) = x⁴ - 18 * x²

Answer 5

Ein anderer Zugang zur Lösung:

"Der Graph einer Funktion $4 .$ Ordnung verläuft bezüglich der $y$ -Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt $P(1 \mid-17)$ besitzt die Steigung -32."
Symmetrie zur y-Achse und Graph durch den Ursprung bedeutet einen Extremwert (doppelte Nullstelle) an dieser Stelle:
Symmetrie heit nun auch,dass die beiden Nullstellen gleichweit vom Ursprung entfernt sind
$f(x)=a \cdot x^{2} \cdot(x-N) \cdot(x+N)=a \cdot x^{2} \cdot\left(x^{2}-N^{2}\right)$
$P(1 \mid-17)$
$f(1)=a \cdot\left(1-N^{2}\right)$
$a \cdot\left(1-N^{2}\right)=-17 \rightarrow a \cdot\left(N^{2}-1\right)=17 \rightarrow a=\frac{17}{N^{2}-1}$
$f(x)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[x^{2} \cdot\left(x^{2}-N^{2}\right)\right]=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[x^{4}-N^{2} \cdot x^{2}\right]$
$f^{\prime}(x)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4 x^{3}-2 N^{2} \cdot x\right]$
$f \cdot(1)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4-2 N^{2}\right]$
$\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4-2 N^{2}\right]=-32$
$N_{3}=-3 \cdot \sqrt{2}$
$N_{4}=3 \cdot \sqrt{2} \rightarrow N^{2}=18$
$a=\frac{17}{18-1}=1$
$f(x)=x^{2} \cdot\left(x^{2}-18\right)=x^{4}-18 x^{2}$ mfG Moliets