Untersuchen Sie f(x)=x4-2x2 mithilfe des Monotoniesatzes auf Monotonie

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f mithilfe des Monotoniesatzes auf Monotonie

f(x)= x⁴-2x²

muss ich das hier mit GeoGebra machen?

Comments

Es wird eindeutig gefordert, dass du das Monotonieverhalten mithilfe des Monotoniesatzes untersuchen sollst. Wie kommst du da auf GeoGebra?

Answer 1

Aloha :)

Über das Monotonie-Verhalten der Funktion$$f(x)=x^4-2x^2$$gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=4(x+1)x(x-1)$$Die Linearfaktoren der ersten Ableitung haben wir in der Reihenfolge angeordnet, in der sie null werden. Daraus ergeben sich 4 Fälle:

1. Fall: $x<-1$$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{<0}\cdot\underbrace{x}_{<0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$2. Fall: $-1<x<0$$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{<0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}>0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton wachsend}$$3. Fall: $0<x<1$$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{>0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$4. Fall: $x>1$$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{>0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{>0}>0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton steigend}$$

Wir fassen zusammen:$$f(x)=x^4-2x^2\text{ ist }\left\{\begin{array}{lcl}\text{streng monoton fallend} & \text{für} & x<-1\\\text{streng monoton wachsend} & \text{für} & -1<x<0\\\text{streng monoton fallend} & \text{für} & 0<x<1\\\text{streng monoton wachsend} & \text{für} & x>1\end{array}\right.$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = x⁴-2x²x = -1x = 0x = 1Zoom: x(-2…2,2) y(-1,5…4)

Answer 2

Nein, nur mit Gehirn und Monotoniesatz. Und vor allem: keinesfalls mit Geogebra.

Answer 3

muss ich das hier mit GeoGebra machen?

Ich würde "müssen" durch "können" ersetzen. Du kannst aber auch die erste Ableitung $f'(x)$ als Maß der Steigung betrachten und schauen, wo eine negative, bzw. positive Steigung zu vernehmen ist.

$f'(x)=4x(x^2-1)>0 \Leftrightarrow (4x>0 \, \land x^2-1>0) \, \vee (4x<0 \, \land x^2-1<0)$

$f'(x)=4x(x^2-1)<0 \Leftrightarrow (4x<0 \, \land x^2-1>0) \, \vee (4x>0 \, \land x^2-1<0)$

Für $f'(x)>0$ erhältst du damit $(-1,0)\cup (1,\infty)$

Für $f'(x)<0$ folglich $(0,1)\cup (-1,-\infty)$

Für $x=\pm 1$ und $x=0$ ist die Steigung $0$, dort befinden sich lokale Extrema.