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Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und in H(3/54) einen HP hat. (Mit Matrix im Taschenrechner) Sehe meinen Fehler nicht.

f (3) = 54 
f ' (3) = 0 
f (-3) = -54
f ' (-3) = 0 

Ein kompletter Lösungsweg wäre sehr hilfreich, Danke schonmal im Voraus!

( es müsste -x^3+27x rauskommen)

von
Sehe meinen Fehler nicht.

Ich auch nicht. Bis jetzt ist alles richtig.

Bis dahin ja, komme aber nicht weiter bzw. das was ich gemacht habe (in funktion einsetzen) ist irgendwie falsch.

Wie sieht das Geichungssystem aus, dass du bekommen hast?

\(f(x)=ax^3+bx\\f'(x)=3ax^2\)

f (3) = 54 \(\Rightarrow 27a+3b=54\)
f ' (3) = 0\(\Rightarrow 27 a + b = 0\)

1: f(3) = 27a+3c = 54

2: f ' (3) = 27a+c =0

3: f (-3) = -27a-3c = -54

4: f ' (-3) = -27a +c = 0

Du hast in 4) einen Vorzeichenfehler.

Dann hast du etwas falsch in den Taschenrechner eingegeben. Aber bei zwei Gleichungen würde ich es auch mal ganz altmodisch mit dem Einsetzungsverfahren probieren.

Du hast in 4) einen Vorzeichenfehler

welchen denn?

Rechne nach! Da es ja nur um ±27 a und  ±c gehen kann und ich dir geschrieben haben, dass du dabei einen (und ich präzisiere: GENAU EINEN) Vorzeichenfehler hat, ist die Auswahl, WAS genau falsch sein könnte, nicht mehr so groß.

Schau selbstkritisch deine Rechnung an!

es ist immer noch falsch

es ist immer noch falsch


Du hast vermutlich versucht, ohne nachzudenken etwas in den TR einzugeben. Klären wir doch erst einmal ein grundlegendes Problem: Wie müsste deine vierte Gleichung richtig heißen?

f ' (-3) = -27a - c = 0  ?

Ja. Und wenn du deine dritte Gleichung mit -1 multiplizierst, erhältst du die erste.

Und wenn du deine jetzt richtige vierte Gleichung mit -1 multiplizierst, erhältst du die zweite.

Du hast also in Wirklichkkeit gar kein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen, sondern nur aus zwei Gleichungen, die nur noch einmal wiederholt werden. Löse also nur das System aus den ersten beiden Gleichungen mit den beiden darin vorhandenen Unbekannten.

1 Antwort

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Aloha :)

Ein Polynomfunktion ist punktsymmetrisch, wenn die \(x\) nur ungerade Exponenten haben. Daher wählen wir als Ansatz:$$f(x)=ax^3+bx$$$$f'(x)=3ax^2+b$$Aus den beiden Angaben erhalten wir 2 Gleichungen:$$54=f(3)=a\cdot3^3+b\cdot3=27a+3b\quad\Leftrightarrow\quad18=9a+b$$$$0=f'(3)=3a\cdot3^2+b=27a+b\quad\Leftrightarrow\quad0=27a+b$$Aus der zweiten Gleichung folgt \(b=-27a\), was wir in die erste Gleichung einsetzen:$$18=9a+b=9a-27a=-18a\quad\Leftrightarrow\quad a=-1$$Aus der zweiten Gleichung folgt dann:$$b=-27a=-27\cdot(-1)=27$$Wir erhalten als Lösung:$$\boxed{f(x)=-x^3+27x}$$

~plot~ -x^3+27x ; {3|54}; {-3|-54} ; [[-4|4|-60|60]] ~plot~

von 79 k 🚀

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