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Aufgabe: Wie berechnet man den Fluss der strömenden Flüssigkeit durch geknickte Fläche?


Problem/Ansatz:

Die Fläche besteht aus 2 Rechtecken ABCD und CDEF mit den Eckpunkten:

A(-1,0,-1), B(3,0,1),C(-1,4,0), D(3,4,0),E(-1,4,4), F(3,4,4)

Flüssigkeit strömt durch geknickte Fläche mit 5m/s, wobei Geschwindigkeitskomponente in x, y, z Richtung gleich groß und positiv ist.

1) Höhe h bestimmen: (vt)f

2) Volumen berechnen: Grundfläche f mal Höhe h: V= f×h,

3) Fluss= V/t = v×f (Skalarprodukt von v und f)

(Flächenvektor f ist orthogonal zur Fläche und sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt)


Problem: ich weiß nicht, wie ich f berechnen kann umd was ich für v einsetzen soll.

Bitte um Hilfe

von

\(C\) ist der gleiche Punkt wie \(E\) - Absicht?

und wie verläuft der Knick? von \(A\) nach \(C\) oder von \(B\) nach \(D\)?

Hallo,

Der Punkt C lautet: C(-1,4,0). Ich habe mich vertippt. Danke für den Hinweis. Es ist nicht angegeben wie der Knick verläuft.

Wer hat denn dort die Koordinaten aufgestellt?

1. Punkte sind immer noch nicht alle richtig.

2. Sowohl ABCD als auch CDEF sind hier überschlagene Vierecke?

Vielleicht trägst du selber mal die Koordinaten bei Geogebra ein und zeigst uns wie das aussehen sollte.

blob.png

Hallo Bluesky,

Der Punkt C lautet: C(-1,4,0). Ich habe mich vertippt.

Dann sind Deine sogenannten Rechtecke immer noch keine Rechtecke. Das sieht in 3D so aus:

blob.png

(klick auf das Bild, dann siehst Du es besser)

Kann es sein, dass der Punkt \(A\) bei \(A(-1|\,0|\,+1)\) liegen soll und die Rechtecke \(ABDC\) und \(CDFE\) heißen. Dann wäre auch kein Knick mehr im Rechteck!?

Was soll die Höhe \(h\) sein?

Wenn die Aufgabenstellung klar wäre, wäre die Aufgabe eigentlich leicht zu lösen ...

Ich werde jetzt die Aufgabenstellung 1:1 angeben:

Strömung durch eine Fläche: Gegeben sei eine geknickte Fläche bestehend aus
den beiden Rechtecken ABCD und CDEF, deren Eckpunkte A(−1|0|−1), B(3|0|−1),
C(−1|4|0), D(3|4|0), E(−1|4|4) und F(3|4|4) in der Einheit Meter angegeben seien.
Durch die geknickte Fläche strömt eine Flüssigkeit mit einer Geschwindigkeit
von 5m/s
, wobei deren Geschwindigkeitskomponenten in x- , y- und z-Richtung
gleich groß und positiv seien. Bestimmen Sie den Fluss der strömenden Flüssigkeit durch die geknickte Fläche.

Vielen Dank für die Hilfe

2 Antworten

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Beste Antwort

Es scheint wohl darum zu gehen, die beiden zueinander geknickten Flächen als Gesamtfläche in eine Ebene zu projizieren, die von der Flussrichtung senkrecht geschnitten wird.

Unbenannt.png

von 21 k

Die Projektion wird durch das Skalarprodukt \(\left< v ,\, f \right>\) bereits realisiert. Hier kommt noch hinzu, dass sich die beiden Flächen in der Projektion überlappen.

Hallo bluesky,

war das wirklich die beste Antwort oder honorierst du vorrangig den Kommentar von Werner?

Wenigstens ein Pluspunkt für ihn sollte drin sein...

@abakus: bluesky ist von mir bestochen, Dir die Punkte zu geben. Damit Du nicht immer so rum maulst ;-)

Haha nein keines von beiden. Ich bin neu auf dieser Seite. Ich wollte euch beiden einen like geben. Habe aber später bemerkt, dass nur eine Antwort markiert werden kann.

Auf jeden Fall danken an euch!

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Hallo Bluesky,

Antwort ist überarbeitet; der Punkt B wurde geändert

Ich werde jetzt die Aufgabenstellung 1:1 angeben: ...

Tja - da hast Du ganz klammheimlich noch die Z-Koordinate von \(B\) geändert!

Ich habe das ganze mal im Geoknecht3D visualisiert:

blob.png

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck)

Dort siehst Du das Rechteck \(CDFE\)  (grün) und die Rechteck \(ABDC\) (braun), sowie den Geschwindigkeitsvektor \(v\). Ich habe beide Flächen auf die Ebene projiziert, die senkrecht auf \(v\) steht. Das ist die rote und die dunkelgrüne Fläche. Die beiden Flächen überschneiden sich, was bedeutet, dass ein Teil des Stroms durch beide Flächen verläuft.

Nun ist noch die Frage: soll 'nur' der Gesamtfluß berechnet werden oder die Summe der Volumenströme durch beide Flächen? Bei letzteren ist der Wert deutlich höher, da ein Teil des Flusses doppelt gezählt wird.

ich weiß nicht, wie ich f berechnen kann ...

Wenn \(f\) der 'Flächenvektor' ist, so kannst Du ihn für jedes Dreieck \(ABC\) mit dem Kreuzprodukt berechnen. Es ist $$f = \frac 12 \vec{AB} \times \vec{AC} = \frac 12 (B - A) \times (C - A)$$ Sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) die Seiten eines Parallelogramms (ein Rechteck ist auch ein Parallelogramm) so ist der 'Flächenvektor' $$f = \vec{AB} \times \vec{AC}$$ Für das Rechteck \(CDFE\) ist somit $$f = \vec{CE} \times \vec{CD} = \begin{pmatrix}0\\ 16\\ 0\end{pmatrix}$$was naheliegend war, da \(CDFE\) ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 ist, welches senkrecht zur Y-Achse steht.

... und was ich für v einsetzen soll.

In der Aufgabe steht:

... mit einer Geschwindigkeit von 5m/s, wobei deren Geschwindigkeitskomponenten in x- , y- und z-Richtung gleich groß und positiv seien

heißt, \(v\) hat die Länge 5 und läuft in Richtung von $$\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$ somit ist \(v\)$$v = 5 \cdot \frac 1 {\left| \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right|} \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \frac 53 \sqrt 3 \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}2.887\\ 2.887\\ 2.887\end{pmatrix}$$ Ich nehme an, dass Du noch Fragen hast. Stelle sie einfach hier.

Gruß Werner

von 29 k

Die Z-Koordinate von \(B\) nach \(-1\) geändert.

Hallo Werner,

In diesem Fall gibt es ja zwei f. Eine von der Fläche (ABCD)und die andere von (CDEF)

Formel für Fluss lautet: v•f

Welches f wird jetzt in die Formel eingesetzt?

Welches f wird jetzt in die Formel eingesetzt?

Beide! Da sind zunächst mal zwei Flächen. Jede wird durchströmt. Ist $$V_1 = \left< v, \, f_{ABDC} \right>$$der Volumenstrom (bzw. Fluss), der das Rechteck \(ABDC\) durchströmt und $$V_2 = \left< v, \, f_{CDFE} \right>$$der Fluss, der das Rechteck \(CDFE\) durchströmt, so wäre die Summe aus beiden: $$V_{ges} = V_1 + V_2$$ ... nur damit - ich hatte es in meiner Antwort schon erwähnt - wird der Teil des Flusses doppelt gezählt, der durch beide Rechtecke fliesst.

In Deinem Fall ist es jetzt glücklicherweise so, dass die Diagonale \(AD\) von \(ABDC\) und die Seite \(DF\) von \(CDFE\) in der Projektion auf die Ursprungsebene, die senkrecht auf \(v\) steht, zusammen fallen. D.h. genau der Teil, der durch das Dreieck \(ADC\) fließt, ist doppelt.

Öffne in meiner Antwort Geoknecht3D, indem Du auf das Bild klickst. Und drehe die Szene so, dass der Punkt \(F\) mit seiner Projektion zusammen fällt. Dann siehst Du es.

Das bedeutet, der Gesamtfluß ist$$V_{ges} = \left< v,\, f_{ABD}\right> + \left< v,\, f_{CDFE}\right> \\ f_{ABD} = \frac 12 \vec{AB} \times \vec{AD}$$

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