Aloha :)
(a) Die Rotation erfolgt um die \(z\)-Achse, also um \((0;0;1)^T\), mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega=\frac{\pi}{2}\) rad/s im Uhrzeigersinn, also im mathematisch negativen Sinn. Daher lautet der Vektor der Winkelgeschwindigkeit:$$\vec\omega=\begin{pmatrix}0\\0\\-\pi/2\end{pmatrix}$$
(b) Da die Rotation um die \(z\)-Achse erfolgt, sind die Geschwindigkeitsvektoren von \(A,B,C\) alle senkrecht zur \(z\)-Achse gerichtet. Konkret finden wir:$$\vec v_A=\vec\omega\times\vec r_A=\begin{pmatrix}0\\0\\-\pi/2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pi\\-2\pi\\0\end{pmatrix}$$$$\vec v_B=\vec\omega\times\vec r_B=\begin{pmatrix}0\\0\\-\pi/2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\pi/2\\\pi\\0\end{pmatrix}$$$$\vec v_C=\vec\omega\times\vec r_C=\begin{pmatrix}0\\0\\-\pi/2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
(c) Der Mittelwert dieser drei Einzelgeschwindigkeiten beträgt:$$\vec v=\frac{1}{3}\left(\vec v_A+\vec v_B+\vec v_C\right)=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}\pi-\pi/2+0\\-2\pi+\pi+0\\0+0+0\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}\pi/2\\-\pi\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pi/6\\-\pi/3\\0\end{pmatrix}$$
