Bestimme die Darstellung des Vektors x = (3|2|-2) bezüglich der Basis.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Darstellung des Vektors x = (3|2|-2) bezüglich der Basis.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe die Aufgabe so gut wie gelöst, jedoch verstehe ich die obengenannte Aufgabe nicht. Bei der Aufgabe sind die Vektoren u, w und v  linear unabhängig und bilden eine Basis

u, v, w = 0 ∈ ℝ3

Wie genau stelle ich das nun dar?

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Gleichung$$a\cdot\vec u+b\cdot\vec v+c\cdot\vec w=\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}$$lösen. Das kannst du mit einem Gleichungssystem machen. Der Lösungsvektor $(a,b,c)^T$ ist dann die gesuchte Darstellung des Vektors bezüglich der Basis $(\vec u,\vec v\,\vec w)$.

Da du die Vektoren $\vec u,\vec v,\vec w$ nicht angegeben hast, kann ich dir das nicht vorrechnen.

Nachtrag: Da die Vektoren nun bekannt sind, hier das zu lösende Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrrrl}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline5 & 7 & 9 & 3 &\\0 & -2 & 4 & 2 & \div(-2)\\0 & 6 & -8 & -2 & +3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline 5 & 7 & 9 & 3 &-7\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & -1 & \\0 & 0 & 4 & 4 & \div 4\\\hline 5 & 0 & 23 & 10 & -23\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 1 & -2 & -1 & +2\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 1\\\hline5 & 0 & 0 & -13 & \div5\\0 & 1 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline1 & 0 & 0 & -2,6 & \\0 & 1 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline\end{array}$$Als Lösung erhalte ich $a=-2,6$ ; $b=1$ ; $c=1$. Das heißt$$\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}=-2,6\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\6\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}9\\4\\-8\end{pmatrix}$$In der neuen Basis lautet der Vektor also $(-2,6|1|1)^T$.

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Im folgenden gebe ich die Vektoren an:

Vektor u = (5|0|0)

Vektor v = (7|-2|6)

Vektor w = (9|4|-8)

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Ich habe meine Antwort ergänzt ;)

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Vielen vielen Dank für den Nachtrag.

Da hab ich noch eine Frage bezüglich des Gleichungssystem.

Wie genau kommt man da auf die Lösungen?

Gruß

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Ich habe meine Antwort nochmal ergänzt ;)

Answer 2

1. Sind keine Werte für die Verktoren $u, v$ und $w$ gegeben?

2. Was soll $u, v, w = 0 \in \mathbb{R}$ bedeuten?

3. Bilde die Matrix $A$ die als Spalten die Vektoren $u, v$ und $w$ besitzt, also $$A = (u | v | w )$$ und bilde die Inverse von $A$. das geht, weil $u, v, w$ linear unabhängig sind uind berechne $$A^{-1} x = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$$

Dann gilt $$x = \alpha u + \beta v + \gamma w$$

Answer 3

$\newcommand{\vek}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}r\vek{5\\0\\0}+s\vek{7\\-2\\6}+t\vek{9\\4\\-8}=\vek{3\\2\\-2}$

5r+7s+9t=3    (1)

   -2s+4t=2    (2)

     6s-8t=-2    (3)

-------

2*(2)+(3) -->  2s=2 → s=1

(2) → -2+4t=2 → t=1

(1) → 5r+7+9=3

         5r=-13

            r=-13/5=-2,6