Eigenvektoren/Eigenwerte bestimmen, auf Diagonalisierbarkeit prüfen

Question

Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der Matrizen A. Ist A diagonalisierbar? Begründen Sie ihre Antwort.

$$A = \left( \begin{array} { c c c } { - 2 } & { 4 } & { - 4 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right)$$

Comments

Wo liegt denn genau das Problem. Hier zunächst das was Wolframalpha daraus macht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-2%2C4%2C-4%7D%2C%7B-1%2…

Weißt du gar nicht wie man Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt ?

Answer 1

Die Eigenwerte von A sind die Lösungen der Gleichung
$$det(A-\lambda E)=0$$
also in deinem Beispiel:
$$det(A-\lambda E)=0$$$$\Leftrightarrow det\begin{pmatrix} -2-\lambda & 4 & -4 \\ -1 & 2-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 4-\lambda \end{pmatrix}=0$$$$\Leftrightarrow (-2-\lambda )*(2-\lambda )*(4-\lambda )+0+0-(0+0+4*(-1)*(4-\lambda ))=0$$$$\Leftrightarrow -16+4\lambda +4{ \lambda }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 3 }+16-4\lambda =0$$$$\Leftrightarrow 4{ \lambda }^{ 2 }-{ \lambda }^{ 3 }=0$$$$\Leftrightarrow { \lambda }_{ 1,2 }=0, { \lambda }_{ 3 }=4$$

Die Eigenvektoren von A zum Eigenwert $\lambda$ sind alle Vielfachen (bis auf das Nullfache) desjenigen Vektors x, für den gilt:
$$(A-\lambda E)*x=0$$
also z.B. für den Eigenwert ${ \lambda }_{ 3 }=4$:
$$\begin{pmatrix} -2-4 & 4 & -4 \\ -1 & 2-4 & 2 \\ 0 & 0 & 4-4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { 0 } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} -6 & 4 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { 0 } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { 0 } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Rightarrow$$$${ x }_{ 3 }={ a }\quad ({ a }\in R\setminus { \left\{ 0 \right\} } \quad beliebig\quad wählbar)$$$${ x }_{ 2 }={ x }_{ 3 }$$$${ x }_{ 1 }=0$$
Mit a = 1 erhält man also:
$$x=\begin{pmatrix} { 0 } \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Die Eigenvektoren sind nun alle Vielfachen (bis auf das Nullfache) des Vektors x.

Auf gleiche Weise bestimmt man den Eigenvektor zum Eigenwert ${ \lambda }_{ 1,2 }=0$

Da die 3x3-Matrix A nur zwei (und nicht drei ) linear unabhängige Eigenvektoren hat, ist sie nicht diagonalisierbar.