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Ist die Folge an= (1-qn+1) / ( 1-q) eine Cauchy-Folge?

Hinweise : Falls |q| < 1 konvergiert an gegen 1/ ( 1-q)

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Für ein beliebiges festes |q|>1 divergiert die Folge, denn 1 und q sind konstant, qn+1 → ∞, also ist die Folge dann keine Cauchy-Folge.

Falls |q|<1, konvergiert die Folge gegen 1/(1-q) also ist sie in ℝ eine Cauchyfolge.

Falls |q|=1 ist die Formel nicht definiert, man kann sie allerdings durch Polynomdivision wieder in eine definierte Form überführen:

(1-qn+1)/(1-q) = 1 + q + q2 + ... qn = ∑k=0...n qk

Für q = 1 divergiert die Reihe, da sie schreibbar ist als k=0...n 1 = n+1

Für q = -1 divergiert die Reihe nicht, sie konvergiert aber auch nicht. Stattdessen springt sie zwischen 1 und 0.

 

Die Folge ist also nur für |q|<1 eine Cauchyfolge.

von 10 k

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