Gegeben die Mengen A = {1,...,n} und B = {1,2,3}
a) Wie viele unterschiedliche Abbildungen A→B sind möglich?
Diese Anzahl ist bei endlichen mengen immer
|B||A| hier also 3^n
b) Wie viele Abbildungen sind möglich, wenn 1 nicht getroffen wird? Wie viele wenn 1 und 2 nicht getroffen werden?
wenn 1 nicht getroffen wird bleiben bei B nur 2 Elemente , also 2^n
wenn 1 und 2 nicht getroffen werden bleibt bei B nur 1 Element , also 1^n = 1.
Es gibt also nur eine Abbildung, nämlich die, die alles auf 3 abbildet.
c) Wie viele surjektive Abbildungen A→B sind möglich?
Berechnen Sie die Anzahl für n = 1, . . . , 4
n=1: Da gibt es keine surjektive Abbildung; denn es darf ja nicht dieses
eine Element von A mehrere Bilder haben.
Ebenso bei n=2.
Bei n=3 gibt es zu jedem El. von A eines der Elemenete von B als
Bild. Die kann man dann nur noch permutieren, also gibt e2 3! = 6
verschiedene Abbildungen.
Bei n=4 muss eine surjektive Abbildung immer genau ein Bildelement haben,
das 2x getroffen wird. Das kann jedes der 3 vorhandenen sein, also gibt 3x
soviele Abbildungen wie bei n=3, also 18 Stück.
d) Bestimmen Sie alle möglichen surjektiven Abbildungen für n=3
f : {1;2;3} → {1;2;3}
1. f(1)=1 f(2)=2 f(3)=3
2. f(2)=1 f(1)=2 f(3)=3
3. f(1)=2 f(2)=1 f(3)=3
4. f(1)=2 f(2)=3 f(3)=1
5. f(1)=3 f(2)=2 f(3)=1
6. f(1)=3 f(2)=1 f(3)=2
