Ober und Untersummen

Question

Hallo, ich habe derzeit ein Problem mit Ober- undUntersummen.

Die Aufgabe lautet:

Berechne für beliebige Zahlen b>1 und s die Riemannschen Ober- und Untersummen der Funktion f(x)=x^s auf dem Intervall [1,b] bezüglich der Teilungen (1,q,q²,...,qⁿ) wobei n eine natürlich Zahl ist und q=\( \sqrt[n]{b} \).

Bestimmen sie auch das Integral durch Grenzübergang n -> ∞.

Als Hinweis erhielten wir, s=-1 getrennt zu betrachten.

Wir haben das Thema gerade erst angefangen und ich kann damit noch nicht so richtig umgehen bzw. Verstehe nicht, wie ich diese Aufgabe lösen/beginnen soll. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Liebe Grüße

Answer 1

Für die gegebene Zerlegung gilt für die Obersumme bei \( s > 0 \)

$$ O(f,n) = \sum_{i=0}^{n-1} f(q^{i+1}) \left( q^{i+1} - q^i \right)  $$ Einsetzen der Zerlegung ergibt

$$ O(f,n) = \left( b^{ \frac{1}{n} } - 1 \right) b^{\frac{s}{n} } \sum_{i=0}^{n-1} \left( b^{ \frac{s+1}{n}  } \right)^i = \left( b^{ \frac{1}{n} } - 1 \right) b^{\frac{s}{n} } \frac{ b^{s+1} - 1 }{ b^{ \frac{ s+1 }{ n } } - 1 }  =  \left( b^{s+1} - 1 \right) b^{ \frac{s}{n} } \frac{ b^{ \frac{1}{n} } - 1 } { b^{ \frac{ s+1 }{ n } } - 1  }  $$

Hier wurde einmal die Formel für die geometrische Reihe verwendet.

Es gilt $$ \lim_{n\to\infty} b^{ \frac{s}{n} } \frac{ b^{ \frac{1}{n} } - 1 } { b^{ \frac{ s+1 }{ n } } - 1  } = \frac{1}{s+1}  $$ Den Grenzwert kann z.B. mittels Reihenentwicklung bestimmen.

Also gilt insgesamt

$$ \lim_{n\to\infty} O(f,n) = \frac{ b^{ s+1 } - 1  }{ s+1 } $$

Comments

Hallo und vielen Dank für die Antwort. ich komme jedoch für f(qⁱ⁺¹) auf b^s, da ((b^1/n )ⁿ)^s

Dann erhalte ich beim einsetzen:

(b^1/n - 1) * ∑ b^s

Erkennst du vielleicht wo mein Fehler ist?

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$$ f \left( q^{i+1} \right) = \left( \left( b^{\frac{1}{n}} \right)^{i+1} \right)^s =  b^{ \frac{ s(i+1) }{ n } }  $$

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Okay das ist nachvollziehbar, aber wieso steht dann bei dir im 1. Schritt also nach dem Summenzeichen b\( x^{ ((s+1)/n)} \)^{^i} ?

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Da sind ein paar Zwischenschritte drin, die ich Dir überlassen möchte. Macht ja keinen Sinn, alles so hinzuschreiben, dass man nicht mehr selber nachdenken muss.